Номер 11, страница 218, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Итоговое повторение. Часть 2 - номер 11, страница 218.

Условие.

11. a) При каких значениях b и с точка M(2; -8) является вершиной параболы $y = 2x^2 + bx + c$?

б) При каких значениях b и с точка N(-4; 3) является вершиной параболы $y = -3x^2 + bx + c$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) Для параболы, заданной уравнением $y = ax^2 + bx + c$, координаты ее вершины $(x_в; y_в)$ вычисляются по формулам: абсцисса $x_в = -b/(2a)$ и ордината $y_в = y(x_в)$.
В нашем случае дано уравнение параболы $y = 2x^2 + bx + c$, где старший коэффициент $a = 2$.
Координаты вершины — точка M(2; -8), следовательно, $x_в = 2$ и $y_в = -8$.
Сначала найдем значение коэффициента $b$, используя формулу для абсциссы вершины:
$x_в = -b/(2a)$
$2 = -b / (2 \cdot 2)$
$2 = -b / 4$
Отсюда $b = -8$.
Теперь найдем коэффициент $c$. Так как точка M(2; -8) является вершиной, она лежит на параболе, и ее координаты удовлетворяют уравнению параболы. Подставим известные значения $x=2$, $y=-8$ и найденное значение $b=-8$ в исходное уравнение:
$y = 2x^2 + bx + c$
$-8 = 2 \cdot (2)^2 + (-8) \cdot 2 + c$
$-8 = 2 \cdot 4 - 16 + c$
$-8 = 8 - 16 + c$
$-8 = -8 + c$
Отсюда $c = 0$.
Ответ: $b = -8$, $c = 0$.

б) В данном случае дано уравнение параболы $y = -3x^2 + bx + c$, где старший коэффициент $a = -3$.
Координаты вершины — точка N(-4; 3), следовательно, $x_в = -4$ и $y_в = 3$.
Найдем значение коэффициента $b$ по формуле для абсциссы вершины:
$x_в = -b/(2a)$
$-4 = -b / (2 \cdot (-3)) $
$-4 = -b / (-6)$
$-4 = b / 6$
Отсюда $b = -24$.
Теперь найдем коэффициент $c$. Точка N(-4; 3) лежит на параболе, поэтому ее координаты удовлетворяют уравнению. Подставим известные значения $x=-4$, $y=3$ и найденное значение $b=-24$ в исходное уравнение:
$y = -3x^2 + bx + c$
$3 = -3 \cdot (-4)^2 + (-24) \cdot (-4) + c$
$3 = -3 \cdot 16 + 96 + c$
$3 = -48 + 96 + c$
$3 = 48 + c$
$c = 3 - 48$
Отсюда $c = -45$.
Ответ: $b = -24$, $c = -45$.