Страница 218, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

6 Напишите уравнение гиперболы, полученной путём параллельного переноса графика функции $y = \frac{6}{x}$:

а) на 2 единицы вправо;

б) на 3 единицы вверх;

в) на 3 единицы влево и на 1 единицу вверх;

г) на 1 единицу вправо и на 2 единицы вниз.

Общий вид уравнения гиперболы, полученной путем параллельного переноса графика функции $y = \frac{k}{x}$, имеет вид $y = \frac{k}{x - a} + b$, где $a$ — величина сдвига по горизонтали (вправо при $a > 0$, влево при $a < 0$), а $b$ — величина сдвига по вертикали (вверх при $b > 0$, вниз при $b < 0$). В нашем случае исходная функция $y = \frac{6}{x}$.

а) на 2 единицы вправо;

Сдвиг графика на 2 единицы вправо означает, что в исходном уравнении $y = \frac{6}{x}$ аргумент $x$ заменяется на $(x - 2)$. Уравнение новой гиперболы будет: $y = \frac{6}{x - 2}$.

Ответ: $y = \frac{6}{x - 2}$

б) на 3 единицы вверх;

Сдвиг графика на 3 единицы вверх означает, что к правой части исходного уравнения $y = \frac{6}{x}$ прибавляется 3. Уравнение новой гиперболы будет: $y = \frac{6}{x} + 3$.

Ответ: $y = \frac{6}{x} + 3$

в) на 3 единицы влево и на 1 единицу вверх;

Это преобразование является комбинацией двух сдвигов: 1. Сдвиг на 3 единицы влево: $x$ заменяется на $(x + 3)$. 2. Сдвиг на 1 единицу вверх: к функции прибавляется 1. Применяя оба преобразования к $y = \frac{6}{x}$, получаем: $y = \frac{6}{x + 3} + 1$.

Ответ: $y = \frac{6}{x + 3} + 1$

г) на 1 единицу вправо и на 2 единицы вниз.

Это преобразование также является комбинацией двух сдвигов: 1. Сдвиг на 1 единицу вправо: $x$ заменяется на $(x - 1)$. 2. Сдвиг на 2 единицы вниз: из функции вычитается 2. Применяя оба преобразования к $y = \frac{6}{x}$, получаем: $y = \frac{6}{x - 1} - 2$.

Ответ: $y = \frac{6}{x - 1} - 2$

7 Напишите уравнение параболы, заданной:

а) на рис. 70;

б) на рис. 71;

в) на рис. 72;

г) на рис. 73.

Рис. 70

Рис. 71

Рис. 72

Рис. 73

Общий вид уравнения параболы, вершина которой находится в точке с координатами $(h; k)$, записывается в виде $y = a(x - h)^2 + k$. Коэффициент $a$ определяет направление ветвей параболы (вверх при $a > 0$, вниз при $a < 0$) и их "ширину". Чтобы найти уравнение для каждой параболы, мы определим координаты её вершины и координаты еще одной любой точки на графике.

а) на рис. 70;

1. Находим вершину параболы. Вершина параболы на рисунке 70 находится в начале координат, то есть в точке $(0; 0)$. Таким образом, $h=0$ и $k=0$.
2. Подставляем координаты вершины в общую формулу. Уравнение принимает вид $y = a(x - 0)^2 + 0$, что упрощается до $y = ax^2$.
3. Находим коэффициент $a$. Для этого выберем на графике любую точку, через которую проходит парабола. Например, точка с координатами $(2; 2)$. Подставим эти значения в наше уравнение: $2 = a \cdot 2^2$.
4. Решаем уравнение относительно $a$. $2 = 4a$, откуда $a = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
5. Записываем итоговое уравнение. Подставив найденное значение $a$, получаем уравнение параболы: $y = \frac{1}{2}x^2$.
Ответ: $y = \frac{1}{2}x^2$

б) на рис. 71;

1. Находим вершину параболы. Вершина параболы на рисунке 71 находится в точке $(-3; 0)$. Таким образом, $h=-3$ и $k=0$.
2. Подставляем координаты вершины в общую формулу. Уравнение принимает вид $y = a(x - (-3))^2 + 0$, что упрощается до $y = a(x+3)^2$.
3. Находим коэффициент $a$. Ветви параболы направлены вниз, значит $a < 0$. Выберем на графике точку, например, $(-2; -1)$. Подставим её координаты в уравнение: $-1 = a(-2+3)^2$.
4. Решаем уравнение относительно $a$. $-1 = a \cdot 1^2$, откуда $a = -1$.
5. Записываем итоговое уравнение. Уравнение параболы: $y = -1 \cdot (x+3)^2$ или $y = -(x+3)^2$.
Ответ: $y = -(x+3)^2$

в) на рис. 72;

1. Находим вершину параболы. Вершина параболы на рисунке 72 находится в точке $(0; -3)$. Таким образом, $h=0$ и $k=-3$.
2. Подставляем координаты вершины в общую формулу. Уравнение принимает вид $y = a(x-0)^2 - 3$, что упрощается до $y = ax^2 - 3$.
3. Находим коэффициент $a$. Выберем на графике точку, например, $(2; 1)$. Подставим её координаты в уравнение: $1 = a \cdot 2^2 - 3$.
4. Решаем уравнение относительно $a$. $1 = 4a - 3$, откуда $4a = 4$, и $a = 1$.
5. Записываем итоговое уравнение. Уравнение параболы: $y = 1 \cdot x^2 - 3$ или $y = x^2 - 3$.
Ответ: $y = x^2 - 3$

г) на рис. 73.

1. Находим вершину параболы. Вершина параболы на рисунке 73 находится в точке $(2; -4)$. Таким образом, $h=2$ и $k=-4$.
2. Подставляем координаты вершины в общую формулу. Уравнение принимает вид $y = a(x - 2)^2 - 4$.
3. Находим коэффициент $a$. Выберем на графике точку, через которую проходит парабола, например, начало координат $(0; 0)$. Подставим эти значения в уравнение: $0 = a(0 - 2)^2 - 4$.
4. Решаем уравнение относительно $a$. $0 = a \cdot (-2)^2 - 4$, то есть $0 = 4a - 4$. Отсюда $4a=4$ и $a=1$.
5. Записываем итоговое уравнение. Уравнение параболы: $y = 1 \cdot (x - 2)^2 - 4$ или $y = (x - 2)^2 - 4$.
Ответ: $y = (x - 2)^2 - 4$

8 Напишите уравнение гиперболы, заданной:

а) на рис. 74;

$y = \frac{1}{x}$

б) на рис. 75;

$y = -\frac{1}{x-2}$

в) на рис. 76;

$y = -\frac{2}{x} + 2$

г) на рис. 77.

$y = \frac{1}{x+1} - 2$

а) на рис. 74;

Общий вид уравнения гиперболы, полученной сдвигом графика функции $y = k/x$, имеет вид: $y = \frac{k}{x-a} + b$, где $x=a$ — вертикальная асимптота, а $y=b$ — горизонтальная асимптота.

1. Из графика на рис. 74 находим асимптоты. Вертикальная асимптота — это пунктирная прямая $x=1$. Горизонтальная асимптота — это ось абсцисс, то есть прямая $y=0$. Следовательно, $a=1$ и $b=0$.

2. Уравнение гиперболы принимает вид: $y = \frac{k}{x-1}$.

3. Для нахождения коэффициента $k$ выберем на графике точку с целочисленными координатами, которая точно принадлежит кривой, например, точку $(2; -4)$. Подставим её координаты в уравнение:

$-4 = \frac{k}{2-1}$

$-4 = \frac{k}{1}$

$k = -4$

4. Таким образом, искомое уравнение гиперболы:

$y = \frac{-4}{x-1}$

Ответ: $y = -\frac{4}{x-1}$

б) на рис. 75;

Общий вид уравнения гиперболы: $y = \frac{k}{x-a} + b$, где $x=a$ и $y=b$ — асимптоты.

1. Из графика на рис. 75 находим асимптоты. Вертикальная асимптота — это прямая $x=2$. Горизонтальная асимптота — это ось абсцисс, то есть прямая $y=0$. Следовательно, $a=2$ и $b=0$.

2. Уравнение гиперболы принимает вид: $y = \frac{k}{x-2}$.

3. Для нахождения коэффициента $k$ выберем на графике точку с целочисленными координатами, например, точку $(3; 2)$. Подставим её координаты в уравнение:

$2 = \frac{k}{3-2}$

$2 = \frac{k}{1}$

$k = 2$

4. Таким образом, искомое уравнение гиперболы:

$y = \frac{2}{x-2}$

Ответ: $y = \frac{2}{x-2}$

в) на рис. 76;

Общий вид уравнения гиперболы: $y = \frac{k}{x-a} + b$, где $x=a$ и $y=b$ — асимптоты.

1. Из графика на рис. 76 находим асимптоты. Вертикальная асимптота — это ось ординат, то есть прямая $x=0$. Горизонтальная асимптота — это пунктирная прямая $y=2$. Следовательно, $a=0$ и $b=2$.

2. Уравнение гиперболы принимает вид: $y = \frac{k}{x} + 2$.

3. Для нахождения коэффициента $k$ выберем на графике точку с целочисленными координатами, например, точку $(-2; 0)$. Подставим её координаты в уравнение:

$0 = \frac{k}{-2} + 2$

$-2 = \frac{k}{-2}$

$k = (-2) \cdot (-2) = 4$

4. Таким образом, искомое уравнение гиперболы:

$y = \frac{4}{x} + 2$

Ответ: $y = \frac{4}{x} + 2$

г) на рис. 77.

Общий вид уравнения гиперболы: $y = \frac{k}{x-a} + b$, где $x=a$ и $y=b$ — асимптоты.

1. Из графика на рис. 77 находим асимптоты. Вертикальная асимптота — это прямая $x=-1$. Горизонтальная асимптота — это прямая $y=-2$. Следовательно, $a=-1$ и $b=-2$.

2. Уравнение гиперболы принимает вид: $y = \frac{k}{x-(-1)} - 2$, то есть $y = \frac{k}{x+1} - 2$.

3. Для нахождения коэффициента $k$ выберем на графике точку с целочисленными координатами, например, точку $(0; -3)$. Подставим её координаты в уравнение:

$-3 = \frac{k}{0+1} - 2$

$-3 = k - 2$

$k = -3 + 2 = -1$

4. Таким образом, искомое уравнение гиперболы:

$y = \frac{-1}{x+1} - 2$

Ответ: $y = -\frac{1}{x+1} - 2$

9 Определите координаты вершины параболы и составьте уравнение оси симметрии данной параболы:

a) $y = x^2 - 4x + 5;$

б) $y = -3x^2 - 6x;$

в) $y = -2x^2 + 12x - 10;$

г) $y = 2x^2 - 8x.$

а) Для параболы $y = x^2 - 4x + 5$ коэффициенты равны $a = 1$, $b = -4$, $c = 5$. Координата $x$ вершины параболы ($x_v$) вычисляется по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$. Подставив значения, получаем: $x_v = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$. Чтобы найти координату $y$ вершины ($y_v$), подставим найденное значение $x_v$ в уравнение параболы: $y_v = (2)^2 - 4(2) + 5 = 4 - 8 + 5 = 1$. Таким образом, координаты вершины параболы: $(2, 1)$. Уравнение оси симметрии параболы — это вертикальная прямая $x = x_v$. Для данной параболы это $x = 2$.
Ответ: координаты вершины $(2, 1)$, уравнение оси симметрии $x = 2$.

б) Для параболы $y = -3x^2 - 6x$ коэффициенты равны $a = -3$, $b = -6$, $c = 0$. Координату $x_v$ вершины находим по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$: $x_v = -\frac{-6}{2 \cdot (-3)} = -\frac{-6}{-6} = -1$. Подставим $x_v = -1$ в уравнение параболы для нахождения $y_v$: $y_v = -3(-1)^2 - 6(-1) = -3(1) + 6 = 3$. Таким образом, координаты вершины параболы: $(-1, 3)$. Уравнение оси симметрии: $x = -1$.
Ответ: координаты вершины $(-1, 3)$, уравнение оси симметрии $x = -1$.

в) Для параболы $y = -2x^2 + 12x - 10$ коэффициенты равны $a = -2$, $b = 12$, $c = -10$. Координату $x_v$ вершины находим по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$: $x_v = -\frac{12}{2 \cdot (-2)} = -\frac{12}{-4} = 3$. Подставим $x_v = 3$ в уравнение параболы для нахождения $y_v$: $y_v = -2(3)^2 + 12(3) - 10 = -2(9) + 36 - 10 = -18 + 36 - 10 = 8$. Таким образом, координаты вершины параболы: $(3, 8)$. Уравнение оси симметрии: $x = 3$.
Ответ: координаты вершины $(3, 8)$, уравнение оси симметрии $x = 3$.

г) Для параболы $y = 2x^2 - 8x$ коэффициенты равны $a = 2$, $b = -8$, $c = 0$. Координату $x_v$ вершины находим по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$: $x_v = -\frac{-8}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$. Подставим $x_v = 2$ в уравнение параболы для нахождения $y_v$: $y_v = 2(2)^2 - 8(2) = 2(4) - 16 = 8 - 16 = -8$. Таким образом, координаты вершины параболы: $(2, -8)$. Уравнение оси симметрии: $x = 2$.
Ответ: координаты вершины $(2, -8)$, уравнение оси симметрии $x = 2$.

10 a) Найдите значение параметра $a$, если известно, что прямая $x=-3$ является осью симметрии параболы $y=ax^2+(a-5)x+10$.

б) Найдите значение параметра $a$, если известно, что прямая $x=2$ является осью симметрии параболы $y=ax^2-(a+9)x-15$.

а)

Ось симметрии параболы, которая задается уравнением вида $y = Ax^2 + Bx + C$, определяется по формуле для абсциссы ее вершины: $x_v = -\frac{B}{2A}$.

В данном случае уравнение параболы $y = ax^2 + (a - 5)x + 10$. Коэффициенты в этом уравнении: $A = a$ и $B = a - 5$. Для того чтобы данное уравнение описывало параболу, старший коэффициент не должен быть равен нулю, то есть $a \neq 0$.

По условию задачи, осью симметрии является прямая $x = -3$. Составим уравнение, приравняв формулу для оси симметрии к ее известному значению:

$-\frac{a - 5}{2a} = -3$

Теперь решим это уравнение относительно параметра $a$:

$\frac{a - 5}{2a} = 3$

Умножим обе части уравнения на $2a$ (мы уже учли, что $a \neq 0$):

$a - 5 = 3 \cdot 2a$

$a - 5 = 6a$

Перенесем слагаемые, содержащие $a$, в одну сторону:

$-5 = 6a - a$

$-5 = 5a$

$a = -1$

Полученное значение $a = -1$ удовлетворяет условию $a \neq 0$.

Ответ: $a = -1$.

б)

Воспользуемся тем же подходом. Уравнение параболы имеет вид $y = ax^2 - (a + 9)x - 15$.

Коэффициенты этого уравнения: $A = a$ и $B = -(a + 9)$. Условие того, что это парабола, остается прежним: $a \neq 0$.

Из условия известно, что осью симметрии является прямая $x = 2$. Подставляем значения в формулу оси симметрии $x_v = -\frac{B}{2A}$:

$-\frac{-(a + 9)}{2a} = 2$

Упростим и решим полученное уравнение:

$\frac{a + 9}{2a} = 2$

Умножим обе части на $2a$:

$a + 9 = 2 \cdot 2a$

$a + 9 = 4a$

Сгруппируем слагаемые с $a$:

$9 = 4a - a$

$9 = 3a$

$a = 3$

Это значение удовлетворяет условию $a \neq 0$.

Ответ: $a = 3$.

11. a) При каких значениях b и с точка M(2; -8) является вершиной параболы $y = 2x^2 + bx + c$?

б) При каких значениях b и с точка N(-4; 3) является вершиной параболы $y = -3x^2 + bx + c$?

а) Для параболы, заданной уравнением $y = ax^2 + bx + c$, координаты ее вершины $(x_в; y_в)$ вычисляются по формулам: абсцисса $x_в = -b/(2a)$ и ордината $y_в = y(x_в)$.
В нашем случае дано уравнение параболы $y = 2x^2 + bx + c$, где старший коэффициент $a = 2$.
Координаты вершины — точка M(2; -8), следовательно, $x_в = 2$ и $y_в = -8$.
Сначала найдем значение коэффициента $b$, используя формулу для абсциссы вершины:
$x_в = -b/(2a)$
$2 = -b / (2 \cdot 2)$
$2 = -b / 4$
Отсюда $b = -8$.
Теперь найдем коэффициент $c$. Так как точка M(2; -8) является вершиной, она лежит на параболе, и ее координаты удовлетворяют уравнению параболы. Подставим известные значения $x=2$, $y=-8$ и найденное значение $b=-8$ в исходное уравнение:
$y = 2x^2 + bx + c$
$-8 = 2 \cdot (2)^2 + (-8) \cdot 2 + c$
$-8 = 2 \cdot 4 - 16 + c$
$-8 = 8 - 16 + c$
$-8 = -8 + c$
Отсюда $c = 0$.
Ответ: $b = -8$, $c = 0$.

б) В данном случае дано уравнение параболы $y = -3x^2 + bx + c$, где старший коэффициент $a = -3$.
Координаты вершины — точка N(-4; 3), следовательно, $x_в = -4$ и $y_в = 3$.
Найдем значение коэффициента $b$ по формуле для абсциссы вершины:
$x_в = -b/(2a)$
$-4 = -b / (2 \cdot (-3)) $
$-4 = -b / (-6)$
$-4 = b / 6$
Отсюда $b = -24$.
Теперь найдем коэффициент $c$. Точка N(-4; 3) лежит на параболе, поэтому ее координаты удовлетворяют уравнению. Подставим известные значения $x=-4$, $y=3$ и найденное значение $b=-24$ в исходное уравнение:
$y = -3x^2 + bx + c$
$3 = -3 \cdot (-4)^2 + (-24) \cdot (-4) + c$
$3 = -3 \cdot 16 + 96 + c$
$3 = -48 + 96 + c$
$3 = 48 + c$
$c = 3 - 48$
Отсюда $c = -45$.
Ответ: $b = -24$, $c = -45$.

12 Постройте график функции $y = 0,5x^2 - x - 1,5$. С помощью графика найдите:

а) промежутки возрастания и убывания функции;

б) наименьшее значение функции.

Для построения графика функции $y = 0,5x^2 - x - 1,5$, которая является параболой, найдем ее ключевые точки.

Это квадратичная функция вида $y = ax^2 + bx + c$ с коэффициентами $a = 0,5$, $b = -1$, $c = -1,5$. Так как $a = 0,5 > 0$, ветви параболы направлены вверх.

1. Найдем координаты вершины параболы $(x_в, y_в)$.

Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_в = -\frac{b}{2a}$:

$x_в = -\frac{-1}{2 \cdot 0,5} = \frac{1}{1} = 1$.

Подставим $x_в = 1$ в уравнение функции, чтобы найти ординату вершины:

$y_в = 0,5(1)^2 - 1 - 1,5 = 0,5 - 1 - 1,5 = -2$.

Таким образом, вершина параболы находится в точке $(1; -2)$.

2. Найдем точки пересечения с осями координат.

Пересечение с осью Oy (при $x=0$):

$y = 0,5(0)^2 - 0 - 1,5 = -1,5$. Точка пересечения: $(0; -1,5)$.

Пересечение с осью Ox (при $y=0$):

$0,5x^2 - x - 1,5 = 0$.

Умножим уравнение на 2 для удобства:

$x^2 - 2x - 3 = 0$.

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 2, а их произведение равно -3. Корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = -1$.

Точки пересечения с осью Ox: $(-1; 0)$ и $(3; 0)$.

3. Найдем несколько дополнительных точек для точности построения.

Составим таблицу значений, используя найденные точки и симметрию относительно оси $x=1$:

Построим график по найденным точкам. График функции — парабола с вершиной в точке $(1; -2)$, ветви которой направлены вверх. Парабола пересекает ось Oy в точке $(0; -1,5)$ и ось Ox в точках $(-1; 0)$ и $(3; 0)$.

Теперь, используя свойства графика, ответим на вопросы.

а) промежутки возрастания и убывания функции;

Вершина параболы находится в точке с абсциссой $x=1$. Поскольку ветви параболы направлены вверх, функция убывает на промежутке слева от вершины и возрастает на промежутке справа от вершины. Таким образом, функция убывает при $x \le 1$ и возрастает при $x \ge 1$.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty; 1]$ и возрастает на промежутке $[1; +\infty)$.

б) наименьшее значение функции.

Так как ветви параболы направлены вверх, ее вершина является точкой минимума. Наименьшее значение функции равно ординате вершины параболы. Ордината вершины равна $y_в = -2$.

Ответ: наименьшее значение функции равно -2.

13 Постройте график функции $y = -x^2 + 8x - 12$. С помощью графика найдите:

а) наибольшее значение функции;

б) множество значений функции.

Для построения графика функции $y = -x^2 + 8x - 12$ проведем анализ квадратичной функции и найдем ее ключевые точки.

Графиком данной функции является парабола. Так как коэффициент при $x^2$ равен -1 (отрицательное число), ветви параболы направлены вниз.

1. Нахождение вершины параболы.

Координаты вершины $(x_в; y_в)$ находятся по формулам:

$x_в = -\frac{b}{2a}$

Подставим наши коэффициенты $a=-1$, $b=8$:

$x_в = -\frac{8}{2 \cdot (-1)} = -\frac{8}{-2} = 4$.

Теперь найдем $y_в$, подставив $x_в=4$ в уравнение функции:

$y_в = -(4)^2 + 8(4) - 12 = -16 + 32 - 12 = 4$.

Следовательно, вершина параболы находится в точке $(4; 4)$.

2. Нахождение точек пересечения с осями координат.

С осью ординат (Oy):

Для этого подставляем $x = 0$ в уравнение:

$y = -0^2 + 8 \cdot 0 - 12 = -12$.

Точка пересечения с осью Oy: $(0; -12)$.

С осью абсцисс (Ox):

Для этого приравниваем функцию к нулю: $y = 0$.

$-x^2 + 8x - 12 = 0$

Умножим обе части на -1 для удобства вычислений:

$x^2 - 8x + 12 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 8, а их произведение равно 12. Легко подобрать корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = 6$.

Точки пересечения с осью Ox: $(2; 0)$ и $(6; 0)$.

3. Построение графика.

Мы имеем вершину $(4; 4)$, точки пересечения с осями $(0; -12)$, $(2; 0)$, $(6; 0)$. Ось симметрии параболы — вертикальная прямая $x = 4$. Найдем еще одну точку для точности. Возьмем $x=1$:

$y(1) = -1^2 + 8(1) - 12 = -1 + 8 - 12 = -5$.

Получили точку $(1; -5)$. Симметричная ей относительно оси $x=4$ точка будет иметь координаты $(7; -5)$.

Отметив найденные точки на координатной плоскости и соединив их плавной линией, получим график функции $y = -x^2 + 8x - 12$.

Теперь, с помощью графика, ответим на поставленные вопросы.

а) наибольшее значение функции

Поскольку ветви параболы направлены вниз, наибольшее значение функции достигается в ее вершине. Ордината вершины равна 4. Это и есть наибольшее значение, которое может принимать функция.

Ответ: 4

б) множество значений функции

Множество значений функции — это проекция ее графика на ось Oy. Так как вершина параболы $(4; 4)$ является ее самой высокой точкой, а ветви уходят вниз в бесконечность, функция принимает все значения от $-\infty$ до 4 включительно.

Ответ: $(-\infty; 4]$

14 Постройте график функции $y = x^2 - 6x$. С помощью графика найдите:

а) корни уравнения $x^2 - 6x = -5$;

б) решение неравенства $x^2 - 6x \ge 0$.

Для построения графика функции $y = x^2 - 6x$ необходимо выполнить несколько шагов. Данная функция является квадратичной, поэтому её график — парабола.

1. Направление ветвей.
   Коэффициент при $x^2$ равен 1, что больше нуля ($a=1 > 0$), следовательно, ветви параболы направлены вверх.
2. Координаты вершины.
   Абсциссу вершины параболы найдем по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$. Для нашей функции $a=1, b=-6$.

   $x_v = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3$.

   Ординату вершины найдем, подставив значение $x_v$ в уравнение функции:

   $y_v = (3)^2 - 6 \cdot 3 = 9 - 18 = -9$.

   Таким образом, вершина параболы находится в точке $(3, -9)$.
3. Точки пересечения с осями координат.
   Пересечение с осью ординат (осью Oy) происходит при $x=0$:

   $y = 0^2 - 6 \cdot 0 = 0$.

   Точка пересечения — $(0, 0)$.
   Пересечение с осью абсцисс (осью Ox) происходит при $y=0$:

   $x^2 - 6x = 0$

   $x(x-6) = 0$

   $x_1 = 0$, $x_2 = 6$.

   Точки пересечения — $(0, 0)$ и $(6, 0)$.
4. Дополнительные точки.
   Для более точного построения графика составим таблицу значений, выбрав точки симметрично относительно оси симметрии параболы $x=3$.

   x	-1	0	1	2	3	4	5	6	7
   y	7	0	-5	-8	-9	-8	-5	0	7

Построив параболу по этим точкам, мы можем использовать график для решения поставленных задач.

а) корни уравнения $x^2 - 6x = -5$

Чтобы найти корни уравнения $x^2 - 6x = -5$ графически, нужно найти абсциссы точек пересечения графика функции $y = x^2 - 6x$ и прямой $y = -5$.

Мысленно или с помощью линейки проведём на графике горизонтальную прямую на уровне $y=-5$. Эта прямая пересечет параболу в двух точках. Из построенного графика и таблицы значений видно, что ординату $y=-5$ имеют точки с абсциссами $x=1$ и $x=5$.

Таким образом, решениями уравнения являются $x=1$ и $x=5$.

Ответ: $1; 5$.

б) решение неравенства $x^2 - 6x \geq 0$

Чтобы решить неравенство $x^2 - 6x \geq 0$ графически, нужно найти все значения $x$, для которых график функции $y=x^2-6x$ расположен на оси Ox или выше неё (то есть $y \geq 0$).

Глядя на график, мы видим, что парабола пересекает ось Ox в точках $x=0$ и $x=6$. Ветви параболы направлены вверх, поэтому значения функции неотрицательны ($y \geq 0$) на двух промежутках: левее точки $x=0$ и правее точки $x=6$, включая сами эти точки.

Следовательно, решение неравенства — это объединение двух лучей: $(-\infty, 0]$ и $[6, \infty)$.

Ответ: $(-\infty, 0] \cup [6, \infty)$.