Номер 7, страница 218, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Итоговое повторение. Часть 2 - номер 7, страница 218.

Условие.

7 Напишите уравнение параболы, заданной:

а) на рис. 70;

б) на рис. 71;

в) на рис. 72;

г) на рис. 73.

Рис. 70

Рис. 71

Рис. 72

Рис. 73

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Общий вид уравнения параболы, вершина которой находится в точке с координатами $(h; k)$, записывается в виде $y = a(x - h)^2 + k$. Коэффициент $a$ определяет направление ветвей параболы (вверх при $a > 0$, вниз при $a < 0$) и их "ширину". Чтобы найти уравнение для каждой параболы, мы определим координаты её вершины и координаты еще одной любой точки на графике.

а) на рис. 70;

1. Находим вершину параболы. Вершина параболы на рисунке 70 находится в начале координат, то есть в точке $(0; 0)$. Таким образом, $h=0$ и $k=0$.
2. Подставляем координаты вершины в общую формулу. Уравнение принимает вид $y = a(x - 0)^2 + 0$, что упрощается до $y = ax^2$.
3. Находим коэффициент $a$. Для этого выберем на графике любую точку, через которую проходит парабола. Например, точка с координатами $(2; 2)$. Подставим эти значения в наше уравнение: $2 = a \cdot 2^2$.
4. Решаем уравнение относительно $a$. $2 = 4a$, откуда $a = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
5. Записываем итоговое уравнение. Подставив найденное значение $a$, получаем уравнение параболы: $y = \frac{1}{2}x^2$.
Ответ: $y = \frac{1}{2}x^2$

б) на рис. 71;

1. Находим вершину параболы. Вершина параболы на рисунке 71 находится в точке $(-3; 0)$. Таким образом, $h=-3$ и $k=0$.
2. Подставляем координаты вершины в общую формулу. Уравнение принимает вид $y = a(x - (-3))^2 + 0$, что упрощается до $y = a(x+3)^2$.
3. Находим коэффициент $a$. Ветви параболы направлены вниз, значит $a < 0$. Выберем на графике точку, например, $(-2; -1)$. Подставим её координаты в уравнение: $-1 = a(-2+3)^2$.
4. Решаем уравнение относительно $a$. $-1 = a \cdot 1^2$, откуда $a = -1$.
5. Записываем итоговое уравнение. Уравнение параболы: $y = -1 \cdot (x+3)^2$ или $y = -(x+3)^2$.
Ответ: $y = -(x+3)^2$

в) на рис. 72;

1. Находим вершину параболы. Вершина параболы на рисунке 72 находится в точке $(0; -3)$. Таким образом, $h=0$ и $k=-3$.
2. Подставляем координаты вершины в общую формулу. Уравнение принимает вид $y = a(x-0)^2 - 3$, что упрощается до $y = ax^2 - 3$.
3. Находим коэффициент $a$. Выберем на графике точку, например, $(2; 1)$. Подставим её координаты в уравнение: $1 = a \cdot 2^2 - 3$.
4. Решаем уравнение относительно $a$. $1 = 4a - 3$, откуда $4a = 4$, и $a = 1$.
5. Записываем итоговое уравнение. Уравнение параболы: $y = 1 \cdot x^2 - 3$ или $y = x^2 - 3$.
Ответ: $y = x^2 - 3$

г) на рис. 73.

1. Находим вершину параболы. Вершина параболы на рисунке 73 находится в точке $(2; -4)$. Таким образом, $h=2$ и $k=-4$.
2. Подставляем координаты вершины в общую формулу. Уравнение принимает вид $y = a(x - 2)^2 - 4$.
3. Находим коэффициент $a$. Выберем на графике точку, через которую проходит парабола, например, начало координат $(0; 0)$. Подставим эти значения в уравнение: $0 = a(0 - 2)^2 - 4$.
4. Решаем уравнение относительно $a$. $0 = a \cdot (-2)^2 - 4$, то есть $0 = 4a - 4$. Отсюда $4a=4$ и $a=1$.
5. Записываем итоговое уравнение. Уравнение параболы: $y = 1 \cdot (x - 2)^2 - 4$ или $y = (x - 2)^2 - 4$.
Ответ: $y = (x - 2)^2 - 4$