Номер 10, страница 218, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Итоговое повторение. Часть 2 - номер 10, страница 218.

Условие.

10 a) Найдите значение параметра $a$, если известно, что прямая $x=-3$ является осью симметрии параболы $y=ax^2+(a-5)x+10$.

б) Найдите значение параметра $a$, если известно, что прямая $x=2$ является осью симметрии параболы $y=ax^2-(a+9)x-15$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а)

Ось симметрии параболы, которая задается уравнением вида $y = Ax^2 + Bx + C$, определяется по формуле для абсциссы ее вершины: $x_v = -\frac{B}{2A}$.

В данном случае уравнение параболы $y = ax^2 + (a - 5)x + 10$. Коэффициенты в этом уравнении: $A = a$ и $B = a - 5$. Для того чтобы данное уравнение описывало параболу, старший коэффициент не должен быть равен нулю, то есть $a \neq 0$.

По условию задачи, осью симметрии является прямая $x = -3$. Составим уравнение, приравняв формулу для оси симметрии к ее известному значению:

$-\frac{a - 5}{2a} = -3$

Теперь решим это уравнение относительно параметра $a$:

$\frac{a - 5}{2a} = 3$

Умножим обе части уравнения на $2a$ (мы уже учли, что $a \neq 0$):

$a - 5 = 3 \cdot 2a$

$a - 5 = 6a$

Перенесем слагаемые, содержащие $a$, в одну сторону:

$-5 = 6a - a$

$-5 = 5a$

$a = -1$

Полученное значение $a = -1$ удовлетворяет условию $a \neq 0$.

Ответ: $a = -1$.

б)

Воспользуемся тем же подходом. Уравнение параболы имеет вид $y = ax^2 - (a + 9)x - 15$.

Коэффициенты этого уравнения: $A = a$ и $B = -(a + 9)$. Условие того, что это парабола, остается прежним: $a \neq 0$.

Из условия известно, что осью симметрии является прямая $x = 2$. Подставляем значения в формулу оси симметрии $x_v = -\frac{B}{2A}$:

$-\frac{-(a + 9)}{2a} = 2$

Упростим и решим полученное уравнение:

$\frac{a + 9}{2a} = 2$

Умножим обе части на $2a$:

$a + 9 = 2 \cdot 2a$

$a + 9 = 4a$

Сгруппируем слагаемые с $a$:

$9 = 4a - a$

$9 = 3a$

$a = 3$

Это значение удовлетворяет условию $a \neq 0$.

Ответ: $a = 3$.