Номер 13, страница 218, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Итоговое повторение. Часть 2 - номер 13, страница 218.

Условие.

13 Постройте график функции $y = -x^2 + 8x - 12$. С помощью графика найдите:

а) наибольшее значение функции;

б) множество значений функции.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Для построения графика функции $y = -x^2 + 8x - 12$ проведем анализ квадратичной функции и найдем ее ключевые точки.

Графиком данной функции является парабола. Так как коэффициент при $x^2$ равен -1 (отрицательное число), ветви параболы направлены вниз.

1. Нахождение вершины параболы.

Координаты вершины $(x_в; y_в)$ находятся по формулам:

$x_в = -\frac{b}{2a}$

Подставим наши коэффициенты $a=-1$, $b=8$:

$x_в = -\frac{8}{2 \cdot (-1)} = -\frac{8}{-2} = 4$.

Теперь найдем $y_в$, подставив $x_в=4$ в уравнение функции:

$y_в = -(4)^2 + 8(4) - 12 = -16 + 32 - 12 = 4$.

Следовательно, вершина параболы находится в точке $(4; 4)$.

2. Нахождение точек пересечения с осями координат.

С осью ординат (Oy):

Для этого подставляем $x = 0$ в уравнение:

$y = -0^2 + 8 \cdot 0 - 12 = -12$.

Точка пересечения с осью Oy: $(0; -12)$.

С осью абсцисс (Ox):

Для этого приравниваем функцию к нулю: $y = 0$.

$-x^2 + 8x - 12 = 0$

Умножим обе части на -1 для удобства вычислений:

$x^2 - 8x + 12 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 8, а их произведение равно 12. Легко подобрать корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = 6$.

Точки пересечения с осью Ox: $(2; 0)$ и $(6; 0)$.

3. Построение графика.

Мы имеем вершину $(4; 4)$, точки пересечения с осями $(0; -12)$, $(2; 0)$, $(6; 0)$. Ось симметрии параболы — вертикальная прямая $x = 4$. Найдем еще одну точку для точности. Возьмем $x=1$:

$y(1) = -1^2 + 8(1) - 12 = -1 + 8 - 12 = -5$.

Получили точку $(1; -5)$. Симметричная ей относительно оси $x=4$ точка будет иметь координаты $(7; -5)$.

Отметив найденные точки на координатной плоскости и соединив их плавной линией, получим график функции $y = -x^2 + 8x - 12$.

Теперь, с помощью графика, ответим на поставленные вопросы.

а) наибольшее значение функции

Поскольку ветви параболы направлены вниз, наибольшее значение функции достигается в ее вершине. Ордината вершины равна 4. Это и есть наибольшее значение, которое может принимать функция.

Ответ: 4

б) множество значений функции

Множество значений функции — это проекция ее графика на ось Oy. Так как вершина параболы $(4; 4)$ является ее самой высокой точкой, а ветви уходят вниз в бесконечность, функция принимает все значения от $-\infty$ до 4 включительно.

Ответ: $(-\infty; 4]$