Номер 23, страница 221, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Итоговое повторение. Часть 2 - номер 23, страница 221.

Условие.

23 Постройте график функции $y = \frac{3}{x-3}$. С помощью графика най-

дите:

а) координаты центра симметрии гиперболы;

б) промежутки монотонности функции.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

График функции $y = \frac{3}{x-3}$ является гиперболой. Его можно построить, сдвинув график функции $y = \frac{3}{x}$ на 3 единицы вправо вдоль оси абсцисс.

1. Область определения. Знаменатель дроби не может быть равен нулю: $x-3 \neq 0$, следовательно, $x \neq 3$. Область определения функции: $D(y) = (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$.

2. Асимптоты.

• Вертикальная асимптота: прямая $x = 3$.
• Горизонтальная асимптота: прямая $y = 0$.

3. Построение графика по точкам.

Составим таблицу значений для нескольких точек на каждой ветви гиперболы:

$x$	0	1	2	2.5	3.5	4	5	6
$y$	-1	-1.5	-3	-6	6	3	1.5	1

На координатной плоскости строим асимптоты $x=3$ и $y=0$. Затем отмечаем вычисленные точки и соединяем их плавными кривыми (ветвями гиперболы), которые приближаются к асимптотам.

а) координаты центра симметрии гиперболы;

Центр симметрии гиперболы — это точка пересечения ее асимптот. В данном случае это точка пересечения прямых $x=3$ и $y=0$. Следовательно, координаты центра симметрии — $(3; 0)$.

Ответ: $(3; 0)$.

б) промежутки монотонности функции.

По графику видно, что на обоих промежутках области определения функция является убывающей. При увеличении $x$ на промежутке $(-\infty; 3)$ значения $y$ уменьшаются (график идет вниз). Аналогично, при увеличении $x$ на промежутке $(3; +\infty)$ значения $y$ также уменьшаются.

Ответ: функция убывает на промежутках $(-\infty; 3)$ и $(3; +\infty)$.