Номер 26, страница 222, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Итоговое повторение. Часть 2 - номер 26, страница 222.

Условие.

26 Функция задана формулой:

а) $y = \frac{1}{x} + 4;$

б) $y = -\frac{4}{x - 3} + 5;$

в) $y = -\frac{2}{x - 5};$

г) $y = -\frac{3}{x + 1} - 2.$

Не выполняя построения графика, найдите:

1) область определения функции;

2) множество значений функции;

3) промежутки монотонности функции;

4) координаты центра симметрии гиперболы;

5) асимптоты гиперболы.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) $y = \frac{1}{x} + 4$

Это функция вида $y = \frac{k}{x-a} + b$, где $k=1$, $a=0$, $b=4$.

1) область определения функции;
Область определения функции - это все значения аргумента $x$, при которых функция имеет смысл. Для данной функции знаменатель дроби не должен быть равен нулю.
$x \neq 0$.
Ответ: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2) множество значений функции;
Множество значений функции - это все значения, которые может принимать $y$. Выражение $\frac{1}{x}$ не может быть равно нулю. Следовательно, $y$ не может быть равно $4$.
$y = \frac{1}{x} + 4 \implies y - 4 = \frac{1}{x} \implies y-4 \neq 0 \implies y \neq 4$.
Ответ: $E(y) = (-\infty; 4) \cup (4; +\infty)$.

3) промежутки монотонности функции;
Поскольку коэффициент $k=1 > 0$, функция является убывающей на каждом из интервалов своей области определения.
Ответ: функция убывает на промежутках $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.

4) координаты центра симметрии гиперболы;
Центр симметрии гиперболы $y = \frac{k}{x-a} + b$ находится в точке $(a; b)$. Для данной функции $a=0$ и $b=4$.
Ответ: $(0; 4)$.

5) асимптоты гиперболы.
Вертикальная асимптота - это прямая $x=a$, а горизонтальная асимптота - это прямая $y=b$.
Ответ: вертикальная асимптота $x=0$, горизонтальная асимптота $y=4$.

---

б) $y = -\frac{4}{x - 3} + 5$

Это функция вида $y = \frac{k}{x-a} + b$, где $k=-4$, $a=3$, $b=5$.

1) область определения функции;
Знаменатель не должен быть равен нулю: $x - 3 \neq 0 \implies x \neq 3$.
Ответ: $D(y) = (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$.

2) множество значений функции;
Выражение $-\frac{4}{x-3}$ не равно нулю, следовательно $y \neq 5$.
Ответ: $E(y) = (-\infty; 5) \cup (5; +\infty)$.

3) промежутки монотонности функции;
Поскольку коэффициент $k=-4 < 0$, функция является возрастающей на каждом из интервалов своей области определения.
Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; 3)$ и $(3; +\infty)$.

4) координаты центра симметрии гиперболы;
Центр симметрии находится в точке $(a; b)$. Для данной функции $a=3$ и $b=5$.
Ответ: $(3; 5)$.

5) асимптоты гиперболы.
Вертикальная асимптота $x=a$, горизонтальная асимптота $y=b$.
Ответ: вертикальная асимптота $x=3$, горизонтальная асимптота $y=5$.

---

в) $y = -\frac{2}{x - 5}$

Это функция вида $y = \frac{k}{x-a} + b$, где $k=-2$, $a=5$, $b=0$.

1) область определения функции;
Знаменатель не должен быть равен нулю: $x - 5 \neq 0 \implies x \neq 5$.
Ответ: $D(y) = (-\infty; 5) \cup (5; +\infty)$.

2) множество значений функции;
Выражение $-\frac{2}{x-5}$ не равно нулю, следовательно $y \neq 0$.
Ответ: $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

3) промежутки монотонности функции;
Поскольку коэффициент $k=-2 < 0$, функция является возрастающей на каждом из интервалов своей области определения.
Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; 5)$ и $(5; +\infty)$.

4) координаты центра симметрии гиперболы;
Центр симметрии находится в точке $(a; b)$. Для данной функции $a=5$ и $b=0$.
Ответ: $(5; 0)$.

5) асимптоты гиперболы.
Вертикальная асимптота $x=a$, горизонтальная асимптота $y=b$.
Ответ: вертикальная асимптота $x=5$, горизонтальная асимптота $y=0$.

---

г) $y = \frac{3}{x + 1} - 2$

Это функция вида $y = \frac{k}{x-a} + b$, где $k=3$, $a=-1$, $b=-2$.

1) область определения функции;
Знаменатель не должен быть равен нулю: $x + 1 \neq 0 \implies x \neq -1$.
Ответ: $D(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.

2) множество значений функции;
Выражение $\frac{3}{x+1}$ не равно нулю, следовательно $y \neq -2$.
Ответ: $E(y) = (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$.

3) промежутки монотонности функции;
Поскольку коэффициент $k=3 > 0$, функция является убывающей на каждом из интервалов своей области определения.
Ответ: функция убывает на промежутках $(-\infty; -1)$ и $(-1; +\infty)$.

4) координаты центра симметрии гиперболы;
Центр симметрии находится в точке $(a; b)$. Для данной функции $a=-1$ и $b=-2$.
Ответ: $(-1; -2)$.

5) асимптоты гиперболы.
Вертикальная асимптота $x=a$, горизонтальная асимптота $y=b$.
Ответ: вертикальная асимптота $x=-1$, горизонтальная асимптота $y=-2$.