Номер 43, страница 225, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Итоговое повторение. Часть 2 - номер 43, страница 225.

Условие.

43 Решите графически систему уравнений:

a) $ \begin{cases} y = x^2 - 6x + 5, \\ y = \sqrt{x - 3} - 4; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} y = -\sqrt{x + 1} - 1, \\ y = \frac{2}{x - 1}. \end{cases} $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

a)

Для решения системы уравнений графическим методом построим графики каждой функции на одной координатной плоскости.

Первое уравнение: $y = x^2 - 6x + 5$. Это квадратичная функция, графиком которой является парабола с ветвями, направленными вверх. Найдем координаты вершины параболы: $x_0 = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3$. $y_0 = 3^2 - 6 \cdot 3 + 5 = 9 - 18 + 5 = -4$. Вершина находится в точке $(3; -4)$. Найдем точки пересечения с осями. С осью OY ($x=0$): $y = 5$. Точка $(0; 5)$. С осью OX ($y=0$): $x^2 - 6x + 5 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 5$. Точки $(1; 0)$ и $(5; 0)$.

Второе уравнение: $y = \sqrt{x - 3} - 4$. Это график функции $y = \sqrt{x}$, смещенный на 3 единицы вправо и на 4 единицы вниз. Область определения функции: $x - 3 \geq 0$, то есть $x \geq 3$. Начальная точка графика: при $x=3$, $y = \sqrt{3-3} - 4 = -4$. Точка $(3; -4)$. Для построения найдем еще одну точку: при $x=4$, $y = \sqrt{4-3} - 4 = 1 - 4 = -3$. Точка $(4; -3)$.

Построим оба графика. Точки пересечения графиков являются решениями системы. Из построения видно, что графики пересекаются в двух точках. Первая точка — это вершина параболы и одновременно начальная точка графика корня: $(3; -4)$. Вторая точка пересечения — $(4; -3)$. Проверим вторую точку: Для параболы: $y = 4^2 - 6 \cdot 4 + 5 = 16 - 24 + 5 = -3$. Для корня: $y = \sqrt{4-3} - 4 = 1 - 4 = -3$. Координаты $(4; -3)$ удовлетворяют обоим уравнениям.

Ответ: $(3; -4)$, $(4; -3)$.

б)

Построим графики функций, заданных уравнениями системы, в одной координатной плоскости.

Первое уравнение: $y = -\sqrt{x + 1} - 1$. Это график функции $y = \sqrt{x}$, который отражен относительно оси OX, а затем смещен на 1 единицу влево и на 1 единицу вниз. Область определения: $x+1 \geq 0$, то есть $x \geq -1$. Начальная точка графика: при $x=-1$, $y = -\sqrt{-1+1} - 1 = -1$. Точка $(-1; -1)$. Найдем еще несколько точек для построения: При $x=0$, $y = -\sqrt{0+1} - 1 = -1 - 1 = -2$. Точка $(0; -2)$. При $x=3$, $y = -\sqrt{3+1} - 1 = -2 - 1 = -3$. Точка $(3; -3)$.

Второе уравнение: $y = \frac{2}{x - 1}$. Это дробно-линейная функция, графиком которой является гипербола. График получен смещением гиперболы $y = \frac{2}{x}$ на 1 единицу вправо. Асимптоты: вертикальная $x=1$ и горизонтальная $y=0$. Найдем несколько точек для построения: При $x=0$, $y = \frac{2}{0-1} = -2$. Точка $(0; -2)$. При $x=-1$, $y = \frac{2}{-1-1} = -1$. Точка $(-1; -1)$. При $x=2$, $y = \frac{2}{2-1} = 2$. Точка $(2; 2)$. При $x=3$, $y = \frac{2}{3-1} = 1$. Точка $(3; 1)$.

Построим графики. Решением системы являются координаты точек их пересечения. Из построения и вычисленных точек видно, что графики пересекаются в точках $(-1; -1)$ и $(0; -2)$. Проверим эти точки: Для точки $(-1; -1)$: $y = -\sqrt{-1+1} - 1 = -1$. $y = \frac{2}{-1-1} = -1$. Для точки $(0; -2)$: $y = -\sqrt{0+1} - 1 = -2$. $y = \frac{2}{0-1} = -2$. Обе точки являются решениями системы.

Ответ: $(-1; -1)$, $(0; -2)$.