Номер 50, страница 226, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Итоговое повторение. Часть 2 - номер 50, страница 226.

Условие.

50 Решите графически уравнение:

a) $|x - 2| - 4 = 0;$

б) $|x + 3| = 5;

в) $3 - |x + 1| = 0;$

г) $|x - 4| = 3.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Для решения уравнений графическим методом представим каждое уравнение в виде $f(x) = g(x)$. Решениями уравнения будут абсциссы (координаты $x$) точек пересечения графиков функций $y = f(x)$ и $y = g(x)$.

а) $|x-2| - 4 = 0$

Сначала преобразуем уравнение, чтобы разделить функции. Перенесем константу в правую часть: $|x-2| = 4$.
Теперь построим в одной системе координат графики двух функций: $y_1 = |x-2|$ и $y_2 = 4$.
1. График функции $y_1 = |x-2|$ представляет собой график модуля $y = |x|$, смещенный на 2 единицы вправо по оси абсцисс. Вершина графика (точка "излома") находится в точке $(2, 0)$.
2. График функции $y_2 = 4$ — это горизонтальная прямая, проходящая через значение 4 на оси ординат.
Решениями уравнения являются абсциссы точек пересечения этих двух графиков. Чтобы найти их, решим два уравнения, которые получаются при раскрытии модуля:
1) $x - 2 = 4 \implies x = 6$.
2) $-(x - 2) = 4 \implies -x + 2 = 4 \implies -x = 2 \implies x = -2$.
Графики пересекаются в точках с абсциссами -2 и 6.
Ответ: $x_1 = -2, x_2 = 6$.

б) $|x+3| = 5$

Уравнение уже представлено в удобном для графического решения виде. Построим графики функций $y_1 = |x+3|$ и $y_2 = 5$.
1. График функции $y_1 = |x+3|$ — это график $y = |x|$, смещенный на 3 единицы влево по оси абсцисс. Вершина графика находится в точке $(-3, 0)$.
2. График функции $y_2 = 5$ — это горизонтальная прямая, проходящая через точку $(0, 5)$.
Найдем абсциссы точек пересечения графиков, решив уравнения:
1) $x + 3 = 5 \implies x = 2$.
2) $-(x + 3) = 5 \implies -x - 3 = 5 \implies -x = 8 \implies x = -8$.
Графики пересекаются в точках с абсциссами -8 и 2.
Ответ: $x_1 = -8, x_2 = 2$.

в) $3 - |x+1| = 0$

Преобразуем уравнение: $|x+1| = 3$.
Построим графики функций $y_1 = |x+1|$ и $y_2 = 3$.
1. График функции $y_1 = |x+1|$ — это график $y = |x|$, смещенный на 1 единицу влево по оси абсцисс. Вершина находится в точке $(-1, 0)$.
2. График функции $y_2 = 3$ — это горизонтальная прямая, проходящая через точку $(0, 3)$.
Найдем абсциссы точек пересечения:
1) $x + 1 = 3 \implies x = 2$.
2) $-(x + 1) = 3 \implies -x - 1 = 3 \implies -x = 4 \implies x = -4$.
Графики пересекаются в точках с абсциссами -4 и 2.
Ответ: $x_1 = -4, x_2 = 2$.

г) $|x-4| = 3$

Уравнение уже в удобном виде. Построим графики функций $y_1 = |x-4|$ и $y_2 = 3$.
1. График функции $y_1 = |x-4|$ — это график $y = |x|$, смещенный на 4 единицы вправо по оси абсцисс. Вершина находится в точке $(4, 0)$.
2. График функции $y_2 = 3$ — это горизонтальная прямая, проходящая через точку $(0, 3)$.
Найдем абсциссы точек пересечения:
1) $x - 4 = 3 \implies x = 7$.
2) $-(x - 4) = 3 \implies -x + 4 = 3 \implies -x = -1 \implies x = 1$.
Графики пересекаются в точках с абсциссами 1 и 7.
Ответ: $x_1 = 1, x_2 = 7$.