Номер 53, страница 226, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Итоговое повторение. Часть 2 - номер 53, страница 226.

Условие.

53 Постройте график функции:

а) $y = \sqrt{x^2}$;

б) $y = \sqrt{x^2 + 10x + 25}$;

в) $y = \sqrt{(x - 3)^2}$;

г) $y = -\sqrt{x^2 - 8x + 16}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) Исходная функция: $y = \sqrt{x^2}$.

Для упрощения этой функции воспользуемся основным свойством арифметического квадратного корня: $\sqrt{a^2} = |a|$.

Применив это свойство к нашей функции, получаем: $y = |x|$.

График функции $y = |x|$ (модуль $x$) состоит из двух лучей, выходящих из начала координат:
- луч $y = x$ при $x \ge 0$ (биссектриса I координатной четверти);
- луч $y = -x$ при $x < 0$ (биссектриса II координатной четверти).
Вершина графика находится в точке $(0, 0)$.

Ответ: $y = |x|$.

б) Исходная функция: $y = \sqrt{x^2 + 10x + 25}$.

Выражение под корнем $x^2 + 10x + 25$ является полным квадратом. Свернем его по формуле квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$x^2 + 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2 = (x + 5)^2$.

Таким образом, функция преобразуется к виду: $y = \sqrt{(x + 5)^2}$.

Снова используем тождество $\sqrt{a^2} = |a|$, где в качестве $a$ выступает выражение $x+5$:

$y = |x + 5|$.

График функции $y = |x + 5|$ можно получить из графика $y = |x|$ путем сдвига вдоль оси абсцисс (Ox) на 5 единиц влево. Вершина графика будет находиться в точке, где выражение под модулем равно нулю, то есть $x+5=0 \Rightarrow x=-5$. Координаты вершины: $(-5, 0)$.

Ответ: $y = |x + 5|$.

в) Исходная функция: $y = \sqrt{(x - 3)^2}$.

Применим тождество $\sqrt{a^2} = |a|$. В данном случае $a = x-3$.

Получаем функцию: $y = |x - 3|$.

График функции $y = |x - 3|$ получается из графика $y = |x|$ сдвигом вдоль оси абсцисс (Ox) на 3 единицы вправо. Вершина графика находится в точке, где $x-3=0 \Rightarrow x=3$. Координаты вершины: $(3, 0)$.

Ответ: $y = |x - 3|$.

г) Исходная функция: $y = -\sqrt{x^2 - 8x + 16}$.

Рассмотрим подкоренное выражение $x^2 - 8x + 16$. Это полный квадрат разности, который можно свернуть по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$x^2 - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2 = (x - 4)^2$.

Подставим свернутое выражение обратно в функцию:

$y = -\sqrt{(x - 4)^2}$.

Упростим, используя $\sqrt{(x - 4)^2} = |x - 4|$:

$y = -|x - 4|$.

График этой функции можно построить, выполнив преобразования графика $y = |x|$:
1. Сдвинуть график $y = |x|$ на 4 единицы вправо вдоль оси Ox, чтобы получить график $y = |x - 4|$.
2. Отразить полученный график $y = |x - 4|$ симметрично относительно оси Ox из-за знака "минус" перед модулем.
В результате получится график, представляющий собой перевернутую "галочку", ветви которой направлены вниз. Вершина графика находится в точке $(4, 0)$.

Ответ: $y = -|x - 4|$.