Номер 57, страница 226, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Итоговое повторение. Часть 2 - номер 57, страница 226.

Условие.

57 a) Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = \sqrt{x - 1}$. При каком значении $x$ выполняется равенство $f(x^2 - 2x) = f(x + 4)$?

б) Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = \sqrt{x + 4}$. При каком значении $x$ выполняется равенство $f(x^2 - 5x) = f(x - 5)$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) Дана функция $f(x) = \sqrt{x - 1}$. Нам нужно найти значения $x$, для которых выполняется равенство $f(x^2 - 2x) = f(x + 4)$.

Подставим аргументы в определение функции:

$f(x^2 - 2x) = \sqrt{(x^2 - 2x) - 1} = \sqrt{x^2 - 2x - 1}$

$f(x + 4) = \sqrt{(x + 4) - 1} = \sqrt{x + 3}$

Получаем уравнение: $\sqrt{x^2 - 2x - 1} = \sqrt{x + 3}$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения. Выражения под знаком корня должны быть неотрицательными:

$\begin{cases} x^2 - 2x - 1 \ge 0 \\ x + 3 \ge 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство. Найдем корни уравнения $x^2 - 2x - 1 = 0$ через дискриминант: $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 4 + 4 = 8$. Корни: $x_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$. Так как ветви параболы $y = x^2 - 2x - 1$ направлены вверх, неравенство $x^2 - 2x - 1 \ge 0$ выполняется при $x \le 1 - \sqrt{2}$ или $x \ge 1 + \sqrt{2}$.

Из второго неравенства получаем $x \ge -3$.

Объединим условия: $x \in [-3, 1 - \sqrt{2}] \cup [1 + \sqrt{2}, +\infty)$.

Теперь решим само уравнение, возведя обе части в квадрат:

$x^2 - 2x - 1 = x + 3$

$x^2 - 3x - 4 = 0$

По теореме Виета, корни этого уравнения: $x_1 = 4$ и $x_2 = -1$.

Проверим, принадлежат ли найденные корни ОДЗ:

Для $x = 4$: $1 + \sqrt{2} \approx 2.41$. Так как $4 > 1 + \sqrt{2}$, корень подходит.

Для $x = -1$: $1 - \sqrt{2} \approx -0.41$. Так как $-3 \le -1 \le 1 - \sqrt{2}$, корень подходит.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x = -1, x = 4$.

б) Дана функция $f(x) = \sqrt{x + 4}$. Нам нужно найти значения $x$, для которых выполняется равенство $f(x^2 - 5x) = f(x - 5)$.

Подставим аргументы в определение функции:

$f(x^2 - 5x) = \sqrt{(x^2 - 5x) + 4} = \sqrt{x^2 - 5x + 4}$

$f(x - 5) = \sqrt{(x - 5) + 4} = \sqrt{x - 1}$

Получаем уравнение: $\sqrt{x^2 - 5x + 4} = \sqrt{x - 1}$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$\begin{cases} x^2 - 5x + 4 \ge 0 \\ x - 1 \ge 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство. Корни уравнения $x^2 - 5x + 4 = 0$ равны $x_1 = 1, x_2 = 4$. Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство $x^2 - 5x + 4 \ge 0$ выполняется при $x \le 1$ или $x \ge 4$.

Из второго неравенства получаем $x \ge 1$.

Объединим условия: $x$ может быть равен $1$ или $x \ge 4$. То есть, $x \in \{1\} \cup [4, +\infty)$.

Теперь решим само уравнение, возведя обе части в квадрат:

$x^2 - 5x + 4 = x - 1$

$x^2 - 6x + 5 = 0$

По теореме Виета, корни этого уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = 5$.

Проверим, принадлежат ли найденные корни ОДЗ:

Для $x = 1$: корень $x=1$ принадлежит ОДЗ.

Для $x = 5$: так как $5 \ge 4$, корень подходит.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x = 1, x = 5$.