Номер 57, страница 226, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Авторы: Мордкович А. Г., Александрова Л. А., Мишустина Т. Н., Тульчинская Е. Е., Семенов П. В.
Тип: Учебник
Издательство: Мнемозина
Год издания: 2019 - 2025
Часть: 2
Цвет обложки:
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 8 классе
Итоговое повторение. Часть 2 - номер 57, страница 226.
№57 (с. 226)
Условие. №57 (с. 226)
скриншот условия

57 a) Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = \sqrt{x - 1}$. При каком значении $x$ выполняется равенство $f(x^2 - 2x) = f(x + 4)$?
б) Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = \sqrt{x + 4}$. При каком значении $x$ выполняется равенство $f(x^2 - 5x) = f(x - 5)$?
Решение 1. №57 (с. 226)


Решение 2. №57 (с. 226)

Решение 3. №57 (с. 226)

Решение 4. №57 (с. 226)

Решение 6. №57 (с. 226)
а) Дана функция $f(x) = \sqrt{x - 1}$. Нам нужно найти значения $x$, для которых выполняется равенство $f(x^2 - 2x) = f(x + 4)$.
Подставим аргументы в определение функции:
$f(x^2 - 2x) = \sqrt{(x^2 - 2x) - 1} = \sqrt{x^2 - 2x - 1}$
$f(x + 4) = \sqrt{(x + 4) - 1} = \sqrt{x + 3}$
Получаем уравнение: $\sqrt{x^2 - 2x - 1} = \sqrt{x + 3}$.
Найдем область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения. Выражения под знаком корня должны быть неотрицательными:
$\begin{cases} x^2 - 2x - 1 \ge 0 \\ x + 3 \ge 0 \end{cases}$
Решим первое неравенство. Найдем корни уравнения $x^2 - 2x - 1 = 0$ через дискриминант: $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 4 + 4 = 8$. Корни: $x_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$. Так как ветви параболы $y = x^2 - 2x - 1$ направлены вверх, неравенство $x^2 - 2x - 1 \ge 0$ выполняется при $x \le 1 - \sqrt{2}$ или $x \ge 1 + \sqrt{2}$.
Из второго неравенства получаем $x \ge -3$.
Объединим условия: $x \in [-3, 1 - \sqrt{2}] \cup [1 + \sqrt{2}, +\infty)$.
Теперь решим само уравнение, возведя обе части в квадрат:
$x^2 - 2x - 1 = x + 3$
$x^2 - 3x - 4 = 0$
По теореме Виета, корни этого уравнения: $x_1 = 4$ и $x_2 = -1$.
Проверим, принадлежат ли найденные корни ОДЗ:
Для $x = 4$: $1 + \sqrt{2} \approx 2.41$. Так как $4 > 1 + \sqrt{2}$, корень подходит.
Для $x = -1$: $1 - \sqrt{2} \approx -0.41$. Так как $-3 \le -1 \le 1 - \sqrt{2}$, корень подходит.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $x = -1, x = 4$.
б) Дана функция $f(x) = \sqrt{x + 4}$. Нам нужно найти значения $x$, для которых выполняется равенство $f(x^2 - 5x) = f(x - 5)$.
Подставим аргументы в определение функции:
$f(x^2 - 5x) = \sqrt{(x^2 - 5x) + 4} = \sqrt{x^2 - 5x + 4}$
$f(x - 5) = \sqrt{(x - 5) + 4} = \sqrt{x - 1}$
Получаем уравнение: $\sqrt{x^2 - 5x + 4} = \sqrt{x - 1}$.
Найдем область допустимых значений (ОДЗ):
$\begin{cases} x^2 - 5x + 4 \ge 0 \\ x - 1 \ge 0 \end{cases}$
Решим первое неравенство. Корни уравнения $x^2 - 5x + 4 = 0$ равны $x_1 = 1, x_2 = 4$. Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство $x^2 - 5x + 4 \ge 0$ выполняется при $x \le 1$ или $x \ge 4$.
Из второго неравенства получаем $x \ge 1$.
Объединим условия: $x$ может быть равен $1$ или $x \ge 4$. То есть, $x \in \{1\} \cup [4, +\infty)$.
Теперь решим само уравнение, возведя обе части в квадрат:
$x^2 - 5x + 4 = x - 1$
$x^2 - 6x + 5 = 0$
По теореме Виета, корни этого уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = 5$.
Проверим, принадлежат ли найденные корни ОДЗ:
Для $x = 1$: корень $x=1$ принадлежит ОДЗ.
Для $x = 5$: так как $5 \ge 4$, корень подходит.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $x = 1, x = 5$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 57 расположенного на странице 226 для 2-й части к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №57 (с. 226), авторов: Мордкович (Александр Григорьевич), Александрова (Лилия Александровна), Мишустина (Татьяна Николаевна), Тульчинская (Елена Ефимовна), Семенов (Павел Владимирович), 2-й части учебного пособия издательства Мнемозина.