Номер 63, страница 227, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Итоговое повторение. Часть 2 - номер 63, страница 227.

Условие.

63 Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = \begin{cases} x^2 - 4, \text{ если } -3 < x \le 0, \\ -2x^2 + 4x - 4, \text{ если } 0 < x \le 3. \end{cases}$

а) Найдите $f(-2)$, $f(0)$, $f(3)$.

б) Установите, принадлежит ли графику функции точка $A(-1; -3)$, $B(1; -3)$, $C(1; -2)$.

в) Постройте график данной функции.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) Найдите f(-2), f(0), f(3).

Для нахождения значения функции в точке необходимо определить, какому из заданных промежутков принадлежит аргумент $x$, и подставить его в соответствующую формулу.

• Найдём $f(-2)$.
  Значение $x = -2$ принадлежит промежутку $-3 < x \le 0$, так как $-3 < -2 \le 0$.
  Следовательно, используем первую формулу: $f(x) = x^2 - 4$.
  $f(-2) = (-2)^2 - 4 = 4 - 4 = 0$.

• Найдём $f(0)$.
  Значение $x = 0$ принадлежит промежутку $-3 < x \le 0$.
  Следовательно, используем первую формулу: $f(x) = x^2 - 4$.
  $f(0) = 0^2 - 4 = 0 - 4 = -4$.

• Найдём $f(3)$.
  Значение $x = 3$ принадлежит промежутку $0 < x \le 3$, так как $0 < 3 \le 3$.
  Следовательно, используем вторую формулу: $f(x) = -2x^2 + 4x - 4$.
  $f(3) = -2(3)^2 + 4(3) - 4 = -2 \cdot 9 + 12 - 4 = -18 + 12 - 4 = -10$.

Ответ: $f(-2) = 0$, $f(0) = -4$, $f(3) = -10$.

б) Установите, принадлежит ли графику функции точка A(-1; -3), B(1; -3), C(1; -2).

Чтобы проверить, принадлежит ли точка с координатами $(x_0, y_0)$ графику функции, нужно вычислить значение функции $f(x_0)$ и сравнить его с $y_0$. Если $f(x_0) = y_0$, то точка принадлежит графику.

• Проверим точку A(-1; -3).
  Аргумент $x = -1$ принадлежит промежутку $-3 < x \le 0$.
  Вычисляем значение функции: $f(-1) = (-1)^2 - 4 = 1 - 4 = -3$.
  Так как $f(-1) = -3$, что совпадает с ординатой точки А, точка А(-1; -3) принадлежит графику функции.

• Проверим точку B(1; -3).
  Аргумент $x = 1$ принадлежит промежутку $0 < x \le 3$.
  Вычисляем значение функции: $f(1) = -2(1)^2 + 4(1) - 4 = -2 + 4 - 4 = -2$.
  Так как $f(1) = -2$, а ордината точки B равна -3, то $-2 \neq -3$. Следовательно, точка B(1; -3) не принадлежит графику функции.

• Проверим точку C(1; -2).
  Аргумент $x = 1$ принадлежит промежутку $0 < x \le 3$.
  Вычисляем значение функции: $f(1) = -2(1)^2 + 4(1) - 4 = -2 + 4 - 4 = -2$.
  Так как $f(1) = -2$, что совпадает с ординатой точки С, точка C(1; -2) принадлежит графику функции.

Ответ: точка A принадлежит, точка B не принадлежит, точка C принадлежит.

в) Постройте график данной функции.

График данной кусочно-заданной функции состоит из двух частей:

1. На промежутке $-3 < x \le 0$ график совпадает с графиком функции $y = x^2 - 4$. Это часть параболы, ветви которой направлены вверх. Вершина параболы находится в точке $(0, -4)$, эта точка является правым концом данного участка и включается в график. Левый конец участка находится в точке $x = -3$, значение функции в ней $y = (-3)^2 - 4 = 5$. Точка $(-3, 5)$ не включается в график (изображается выколотой).

2. На промежутке $0 < x \le 3$ график совпадает с графиком функции $y = -2x^2 + 4x - 4$. Это часть параболы, ветви которой направлены вниз. Найдем вершину этой параболы: $x_v = -b/(2a) = -4/(2 \cdot (-2)) = 1$. Значение функции в вершине: $y_v = -2(1)^2 + 4(1) - 4 = -2$. Вершина находится в точке $(1, -2)$. Левый конец участка при $x \to 0$ стремится к точке $(0, -4)$ (выколотая точка). Правый конец участка находится в точке $x = 3$, значение функции в ней $y = -10$ (вычислено в пункте а)). Точка $(3, -10)$ включается в график.

Объединяя эти две части, получаем итоговый график функции. Так как в точке $x=0$ левый предел равен правому пределу и равен значению функции, $f(0)=-4$, то функция непрерывна в этой точке.

Ответ: График функции построен и представлен на рисунке выше.