Номер 65, страница 228, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Итоговое повторение. Часть 2 - номер 65, страница 228.

Условие.

65 Задайте аналитически кусочную функцию $y = f(x)$, график которой изображён:

а) на рис. 78;

$y = \begin{cases} x^2, & x \le 0 \\ \sqrt{x}, & x > 0 \end{cases}$

б) на рис. 79.

$y = \begin{cases} -(x+1)^2+1, & x \le 0 \\ \frac{4}{x}, & x > 0 \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

a) на рис. 78

График, изображенный на рисунке 78, является кусочной функцией, состоящей из двух частей, которые соединяются в точке $(0, 0)$. Рассмотрим каждую часть отдельно.

1. Для $x \le 0$, график представляет собой ветвь параболы с вершиной в начале координат $(0, 0)$, ветви которой направлены вверх. Общее уравнение такой параболы $y = ax^2$. Чтобы найти коэффициент $a$, воспользуемся одной из точек на этой части графика, например, точкой с координатами $(-1, 2)$. Подставив эти значения в уравнение, получим: $2 = a \cdot (-1)^2$ $2 = a \cdot 1$ $a = 2$ Следовательно, для $x \le 0$ функция задается формулой $y = 2x^2$.

2. Для $x > 0$, график представляет собой ветвь функции квадратного корня, которая также начинается в точке $(0, 0)$. Общее уравнение такой функции $y = k\sqrt{x}$. Для нахождения коэффициента $k$ используем точку на этой части графика, например, $(4, 2)$. Подставим ее координаты в уравнение: $2 = k\sqrt{4}$ $2 = k \cdot 2$ $k = 1$ Следовательно, для $x > 0$ функция задается формулой $y = \sqrt{x}$.

Объединив обе части, мы получаем аналитическое задание для всей функции.

Ответ: $f(x) = \begin{cases} 2x^2, & \text{если } x \le 0 \\ \sqrt{x}, & \text{если } x > 0 \end{cases}$

б) на рис. 79

График, изображенный на рисунке 79, является кусочной функцией, состоящей из трех частей. Определим аналитическое выражение для каждой из них.

1. На интервале $-3 \le x \le -2$, график представляет собой отрезок прямой линии. Найдем уравнение этой прямой, используя координаты двух точек, через которые она проходит: $(-3, -3)$ и $(-2, 2)$. Уравнение прямой, проходящей через две точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, имеет вид $\frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1}$. $\frac{y - (-3)}{2 - (-3)} = \frac{x - (-3)}{-2 - (-3)}$
$\frac{y + 3}{5} = \frac{x + 3}{1}$
$y + 3 = 5(x + 3)$
$y + 3 = 5x + 15$
$y = 5x + 12$

2. На интервале $-2 < x \le 0$, график является частью параболы с ветвями, направленными вниз. Общий вид уравнения параболы: $y = ax^2 + bx + c$. График проходит через точки $(-2, 2)$, $(-1, 2)$ и $(0, 0)$. Так как парабола проходит через точку $(0, 0)$, то $c = 0$. Уравнение принимает вид $y = ax^2 + bx$. Подставим координаты двух других точек: Для точки $(-1, 2)$: $2 = a(-1)^2 + b(-1) \implies 2 = a - b$. Для точки $(-2, 2)$: $2 = a(-2)^2 + b(-2) \implies 2 = 4a - 2b$, что эквивалентно $1 = 2a - b$. Решим систему уравнений: $\begin{cases} a - b = 2 \\ 2a - b = 1 \end{cases}$ Вычтем первое уравнение из второго: $(2a - b) - (a - b) = 1 - 2 \implies a = -1$. Найдем $b$ из первого уравнения: $b = a - 2 = -1 - 2 = -3$. Таким образом, уравнение параболы: $y = -x^2 - 3x$.

3. На интервале $0 < x \le 4$, график представляет собой часть гиперболы. Из графика видно, что прямая $x=0$ является вертикальной асимптотой, а прямая $y=1$ — горизонтальной асимптотой. Уравнение такой гиперболы имеет вид $y = \frac{k}{x} + c$, где $c$ — это ордината горизонтальной асимптоты, т.е. $c=1$. Уравнение принимает вид $y = \frac{k}{x} + 1$. Чтобы найти коэффициент $k$, используем точку на графике, например, $(4, 2)$. $2 = \frac{k}{4} + 1 \implies 1 = \frac{k}{4} \implies k=4$. Следовательно, уравнение этой части графика: $y = \frac{4}{x} + 1$.

Объединив все три части, получаем аналитическое выражение для всей функции.

Ответ: $f(x) = \begin{cases} 5x+12, & \text{если } -3 \le x \le -2 \\ -x^2 - 3x, & \text{если } -2 < x \le 0 \\ \frac{4}{x} + 1, & \text{если } 0 < x \le 4 \end{cases}$