Номер 72, страница 229, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 2. Итоговое повторение - номер 72, страница 229.

Условие.

72 a) $y = 2x|x| + 2;$

б) $y = -2x^2 - \frac{x^2}{|x|};$

в) $y = -x|x| + 2x^2;$

г) $y = \frac{|x|}{x^2} + 1.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) Для того чтобы решить данное уравнение, необходимо раскрыть модуль $|x|$. Модуль числа определяется следующим образом:

$|x| = \begin{cases} x, & \text{если } x \ge 0 \\ -x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Рассмотрим два случая.

1. Если $x \ge 0$, то $|x| = x$. Подставим это в исходное уравнение:

$y = 2x(x) + 2 = 2x^2 + 2$

На промежутке $[0, +\infty)$ графиком функции является часть параболы $y = 2x^2 + 2$, ветви которой направлены вверх, с вершиной в точке $(0, 2)$.

2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Подставим это в исходное уравнение:

$y = 2x(-x) + 2 = -2x^2 + 2$

На промежутке $(-\infty, 0)$ графиком функции является часть параболы $y = -2x^2 + 2$, ветви которой направлены вниз, с вершиной в точке $(0, 2)$.

Таким образом, функцию можно представить в виде кусочно-заданной функции:

$y = \begin{cases} 2x^2 + 2, & \text{при } x \ge 0 \\ -2x^2 + 2, & \text{при } x < 0 \end{cases}$

Ответ: $y = \begin{cases} 2x^2 + 2, & \text{при } x \ge 0 \\ -2x^2 + 2, & \text{при } x < 0 \end{cases}$

б) Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $|x| \ne 0$, что означает $x \ne 0$.

Упростим выражение $\frac{x^2}{|x|}$. Так как $x^2 = |x|^2$, то при $x \ne 0$:

$\frac{x^2}{|x|} = \frac{|x|^2}{|x|} = |x|$

Тогда исходная функция принимает вид:

$y = -2x^2 - |x|$

Теперь раскроем модуль $|x|$ для двух случаев.

1. Если $x > 0$, то $|x| = x$. Функция принимает вид:

$y = -2x^2 - x$

2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Функция принимает вид:

$y = -2x^2 - (-x) = -2x^2 + x$

Итак, функция является кусочно-заданной:

$y = \begin{cases} -2x^2 - x, & \text{при } x > 0 \\ -2x^2 + x, & \text{при } x < 0 \end{cases}$

Ответ: $y = \begin{cases} -2x^2 - x, & \text{при } x > 0 \\ -2x^2 + x, & \text{при } x < 0 \end{cases}$

в) Раскроем модуль $|x|$, рассмотрев два случая.

1. Если $x \ge 0$, то $|x| = x$. Подставляем в уравнение:

$y = -x(x) + 2x^2 = -x^2 + 2x^2 = x^2$

На промежутке $[0, +\infty)$ функция совпадает с параболой $y = x^2$.

2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Подставляем в уравнение:

$y = -x(-x) + 2x^2 = x^2 + 2x^2 = 3x^2$

На промежутке $(-\infty, 0)$ функция совпадает с параболой $y = 3x^2$.

Таким образом, получаем кусочно-заданную функцию:

$y = \begin{cases} x^2, & \text{при } x \ge 0 \\ 3x^2, & \text{при } x < 0 \end{cases}$

Ответ: $y = \begin{cases} x^2, & \text{при } x \ge 0 \\ 3x^2, & \text{при } x < 0 \end{cases}$

г) Область допустимых значений (ОДЗ) для данной функции определяется условием $x^2 \ne 0$, то есть $x \ne 0$.

Раскроем модуль $|x|$, рассмотрев два случая.

1. Если $x > 0$, то $|x| = x$. Функция принимает вид:

$y = \frac{x}{x^2} + 1 = \frac{1}{x} + 1$

2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Функция принимает вид:

$y = \frac{-x}{x^2} + 1 = -\frac{1}{x} + 1$

Функцию можно представить в виде:

$y = \begin{cases} \frac{1}{x} + 1, & \text{при } x > 0 \\ -\frac{1}{x} + 1, & \text{при } x < 0 \end{cases}$

Ответ: $y = \begin{cases} \frac{1}{x} + 1, & \text{при } x > 0 \\ -\frac{1}{x} + 1, & \text{при } x < 0 \end{cases}$