Номер 73, страница 229, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Итоговое повторение. Часть 2 - номер 73, страница 229.

Условие.

73. Решите графически уравнение:

а) $ \frac{8}{x+2} + 0,5x^2 - 4x^0 = 0; $

б) $ 2x-4 + \frac{x^2-4}{(x-2)^0} = 0. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) $ \frac{8}{x+2} + 0.5x^2 - 4x^0 = 0 $

Для решения уравнения графическим методом, сначала упростим его и определим область допустимых значений (ОДЗ).

Выражение в знаменателе не должно быть равно нулю: $x+2 \neq 0 \implies x \neq -2$.

Выражение $x^0$ определено и равно 1 для всех $x \neq 0$. Таким образом, ОДЗ исходного уравнения: $x \in (-\infty; -2) \cup (-2; 0) \cup (0; +\infty)$.

С учетом $x^0=1$, уравнение принимает вид:

$ \frac{8}{x+2} + 0.5x^2 - 4 = 0 $

Преобразуем уравнение так, чтобы в левой и правой частях стояли функции, графики которых мы можем построить:

$ \frac{8}{x+2} = 4 - 0.5x^2 $

Построим в одной системе координат графики двух функций:

1. $ y_1 = \frac{8}{x+2} $
2. $ y_2 = 4 - 0.5x^2 $

График функции $y_1 = \frac{8}{x+2}$ — это гипербола, полученная сдвигом графика $y = \frac{8}{x}$ на 2 единицы влево. Асимптоты гиперболы: вертикальная $x=-2$ и горизонтальная $y=0$.

Составим таблицу значений для $y_1$:

$x$	-6	-4	-3	-1	0	2	6
$y_1$	-2	-4	-8	8	4	2	1

График функции $y_2 = 4 - 0.5x^2$ — это парабола, ветви которой направлены вниз. Вершина параболы находится в точке $(0, 4)$.

Составим таблицу значений для $y_2$:

$x$	-4	-2	0	2	4
$y_2$	-4	2	4	2	-4

Построив графики (или сравнив таблицы значений), мы находим точки их пересечения. Абсциссы этих точек и являются решениями уравнения. Точки пересечения: $(-4, -4)$, $(0, 4)$ и $(2, 2)$.

Следовательно, получаем корни: $x_1 = -4$, $x_2 = 0$, $x_3 = 2$.

Теперь необходимо проверить эти корни на соответствие ОДЗ ($x \neq -2$ и $x \neq 0$).

Корень $x = 0$ не входит в ОДЗ, поэтому он является посторонним. Корни $x = -4$ и $x = 2$ удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x = -4; x = 2$.

б) $ 2x - 4 + \frac{x^2 - 4}{(x-2)^0} = 0 $

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение $(x-2)^0$ определено и равно 1, если его основание не равно нулю:

$ x - 2 \neq 0 \implies x \neq 2 $.

При $x \neq 2$ уравнение упрощается:

$ 2x - 4 + \frac{x^2 - 4}{1} = 0 $

$ 2x - 4 + x^2 - 4 = 0 $

$ x^2 + 2x - 8 = 0 $

Для графического решения этого квадратного уравнения построим график функции $y = x^2 + 2x - 8$ и найдем точки его пересечения с осью абсцисс (осью Ox).

График этой функции — парабола, ветви которой направлены вверх.

Найдем координаты вершины параболы:

$ x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1 $

$ y_в = (-1)^2 + 2(-1) - 8 = 1 - 2 - 8 = -9 $

Вершина находится в точке $(-1, -9)$.

Найдем точки пересечения с осью Ox, решив уравнение $x^2 + 2x - 8 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна -2, а произведение равно -8. Корни: $x_1 = -4$ и $x_2 = 2$.

Таким образом, парабола пересекает ось абсцисс в точках с координатами $x=-4$ и $x=2$.

Теперь учтем ОДЗ ($x \neq 2$). Корень $x=2$ не входит в область допустимых значений, следовательно, он является посторонним корнем.

Единственным решением уравнения является $x=-4$.

Ответ: $x = -4$.