Номер 69, страница 229, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Итоговое повторение. Часть 2 - номер 69, страница 229.

Условие.

Постройте график функции:

69 a) $y = (x + 4)^{-1}$;

б) $y = \left(\frac{1}{\sqrt{(x - 3)^2}}\right)^{-1}$;

в) $y = (\sqrt{x + 2})^{-2}$;

г) $y = \left(\frac{1}{\sqrt{x^2 + 4x + 4}}\right)^{-1}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) $y = (x + 4)^{-1}$

Преобразуем данную функцию. Отрицательная степень означает, что мы должны взять обратную величину от основания:

$y = (x + 4)^{-1} = \frac{1}{x+4}$

Это функция обратной пропорциональности, её график — гипербола.

График функции $y = \frac{1}{x+4}$ получается из графика базовой функции $y = \frac{1}{x}$ путём сдвига вдоль оси абсцисс (Ox) на 4 единицы влево.

Основные свойства функции $y = \frac{1}{x+4}$:

• Область определения (ОДЗ): знаменатель не должен быть равен нулю, т.е. $x + 4 \neq 0$, откуда $x \neq -4$. $D(y) = (-\infty; -4) \cup (-4; +\infty)$.

• Асимптоты: вертикальная асимптота $x = -4$, горизонтальная асимптота $y = 0$.

• График представляет собой гиперболу, ветви которой расположены в квадрантах, аналогичных I и III, относительно смещенных осей координат с центром в точке $(-4, 0)$.

Ответ: График функции $y = (x + 4)^{-1}$ — это гипербола, полученная сдвигом графика функции $y = \frac{1}{x}$ на 4 единицы влево вдоль оси Ox. Вертикальная асимптота: $x = -4$, горизонтальная асимптота: $y = 0$.

б) $y = \left(\frac{1}{\sqrt{(x-3)^2}}\right)^{-1}$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем $(x-3)^2$ всегда неотрицательно. Однако, знаменатель дроби $\sqrt{(x-3)^2}$ не может быть равен нулю.

$\sqrt{(x-3)^2} \neq 0 \implies (x-3)^2 \neq 0 \implies x-3 \neq 0 \implies x \neq 3$.

Теперь упростим выражение для функции:

Используем свойство $\sqrt{a^2} = |a|$, поэтому $\sqrt{(x-3)^2} = |x-3|$.

Функция принимает вид: $y = \left(\frac{1}{|x-3|}\right)^{-1}$.

Используем свойство $a^{-1} = \frac{1}{a}$: $y = |x-3|$.

Таким образом, нам нужно построить график функции $y = |x-3|$ с учётом ОДЗ: $x \neq 3$.

График функции $y = |x-3|$ — это график модуля, который получается из графика $y = |x|$ сдвигом на 3 единицы вправо вдоль оси Ox. Вершина графика находится в точке $(3, 0)$.

Поскольку $x \neq 3$, точка $(3, 0)$ не принадлежит графику. Эта точка является вершиной "галочки" $y=|x-3|$, поэтому она должна быть выколота.

Ответ: График функции представляет собой график $y = |x-3|$ (две прямые, $y = x-3$ при $x > 3$ и $y = -(x-3)$ при $x < 3$) с выколотой точкой в вершине $(3, 0)$.

в) $y = (\sqrt{x} + 2)^{-2}$

Преобразуем данную функцию:

$y = \frac{1}{(\sqrt{x} + 2)^2}$

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под квадратным корнем должно быть неотрицательным: $x \ge 0$.

Знаменатель $(\sqrt{x} + 2)^2$ не должен быть равен нулю. Так как $\sqrt{x} \ge 0$, то $\sqrt{x} + 2 \ge 2$, и $(\sqrt{x} + 2)^2 \ge 4$. Знаменатель никогда не равен нулю.

Таким образом, ОДЗ: $x \ge 0$.

Исследуем поведение функции:

• При $x=0$, $y = \frac{1}{(\sqrt{0}+2)^2} = \frac{1}{4}$. Это начальная точка графика $(0, \frac{1}{4})$.

• Функция всегда положительна, так как знаменатель — это квадрат. $y > 0$.

• С ростом $x$, знаменатель $(\sqrt{x} + 2)^2$ возрастает, следовательно, значение функции $y$ убывает.

• При $x \to +\infty$, знаменатель стремится к бесконечности, а $y \to 0$. Это означает, что ось Ox ($y=0$) является горизонтальной асимптотой.

Область значений функции: $E(y) = (0; \frac{1}{4}]$.

Ответ: График функции — это кривая, расположенная в первом квадранте. Она начинается в точке $(0, \frac{1}{4})$, монотонно убывает и асимптотически приближается к оси Ox при $x \to +\infty$.

г) $y = \left(\frac{1}{\sqrt{x^2 + 4x + 4}}\right)^{-1}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем в знаменателе не может быть равным нулю.

$\sqrt{x^2 + 4x + 4} \neq 0$.

Выражение под корнем является полным квадратом: $x^2 + 4x + 4 = (x+2)^2$.

$\sqrt{(x+2)^2} \neq 0 \implies |x+2| \neq 0 \implies x+2 \neq 0 \implies x \neq -2$.

Теперь упростим выражение для функции:

$y = \left(\frac{1}{\sqrt{(x+2)^2}}\right)^{-1} = \left(\frac{1}{|x+2|}\right)^{-1} = |x+2|$.

Мы должны построить график функции $y = |x+2|$ при условии, что $x \neq -2$.

График функции $y = |x+2|$ получается из графика $y = |x|$ сдвигом на 2 единицы влево вдоль оси Ox. Это "галочка" с вершиной в точке $(-2, 0)$.

Так как $x \neq -2$, то точка $(-2, 0)$, которая является вершиной, должна быть исключена из графика (выколота).

Ответ: График функции — это график $y = |x+2|$, состоящий из двух лучей, исходящих из точки $(-2, 0)$, при этом сама точка $(-2, 0)$ выколота.