Номер 62, страница 227, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Итоговое повторение. Часть 2 - номер 62, страница 227.

Условие.

62 Постройте график функции $y = f(x)$ и опишите её свойства, если:

а) $f(x) = \begin{cases} x^2 + 2, & \text{если } 1 \le x \le 2, \\ \frac{6}{x}, & \text{если } 2 < x \le 6; \end{cases}$

б) $f(x) = \begin{cases} -\frac{4}{x + 1}, & \text{если } x < -1, \\ -3x^2 + 3, & \text{если } -1 \le x \le 2. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

a) $f(x) = \begin{cases} x^2 + 2, & \text{если } 1 \le x \le 2 \\ \frac{6}{x}, & \text{если } 2 < x \le 6 \end{cases}$

Построение графика:
График функции состоит из двух частей.

1. На промежутке $[1, 2]$ строим график функции $y = x^2 + 2$. Это часть параболы, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в точке $(0, 2)$. Вычислим значения функции на концах промежутка:
   • При $x = 1$, $y = 1^2 + 2 = 3$. Точка $(1, 3)$.
   • При $x = 2$, $y = 2^2 + 2 = 6$. Точка $(2, 6)$.
   Соединяем эти точки плавной кривой. Обе точки включены в график.
2. На промежутке $(2, 6]$ строим график функции $y = \frac{6}{x}$. Это часть гиперболы, расположенная в первой координатной четверти. Вычислим значения функции на концах промежутка:
   • При $x \to 2$ (справа), $y \to \frac{6}{2} = 3$. Точка $(2, 3)$ является "выколотой", так как $x > 2$.
   • При $x = 6$, $y = \frac{6}{6} = 1$. Точка $(6, 1)$.
   Для большей точности найдем еще одну точку: при $x=3$, $y = \frac{6}{3} = 2$. Соединяем точки $(2, 3)$ (выколотая) и $(6, 1)$ ветвью гиперболы.

В точке $x=2$ функция имеет разрыв. Значение функции $f(2)=6$.

Свойства функции:

• Область определения: $D(f) = [1, 2] \cup (2, 6] = [1, 6]$.
• Область значений: На промежутке $[1, 2]$ значения меняются от $3$ до $6$, то есть $[3, 6]$. На промежутке $(2, 6]$ значения меняются от $3$ (не включая) до $1$, то есть $[1, 3)$. Объединяя эти множества, получаем $E(f) = [1, 3) \cup [3, 6] = [1, 6]$.
• Четность/нечетность: Область определения $[1, 6]$ несимметрична относительно нуля, следовательно, функция не является ни четной, ни нечетной.
• Нули функции: Функция не обращается в ноль, так как $x^2 + 2 > 0$ всегда, и $\frac{6}{x} > 0$ на данном промежутке. Нулей нет.
• Промежутки знакопостоянства: Так как область значений $E(f) = [1, 6]$, функция положительна на всей области определения. $f(x) > 0$ при $x \in [1, 6]$.
• Промежутки монотонности:
  • Функция возрастает на промежутке $[1, 2]$.
  • Функция убывает на промежутке $(2, 6]$.
• Экстремумы:
  • Наибольшее значение функции: $y_{max} = f(2) = 6$.
  • Наименьшее значение функции: $y_{min} = f(6) = 1$.
• Непрерывность: Функция непрерывна на промежутках $[1, 2)$ и $(2, 6]$. В точке $x=2$ она терпит разрыв первого рода (скачок), так как $\lim_{x\to 2-} f(x) = 6$, а $\lim_{x\to 2+} f(x) = 3$.

Ответ: График функции построен. Свойства функции: $D(f)=[1, 6]$, $E(f)=[1, 6]$, ни четная, ни нечетная, нулей нет, $f(x)>0$ на всей области определения, возрастает на $[1, 2]$, убывает на $(2, 6]$, $y_{max}=6$, $y_{min}=1$, имеет разрыв первого рода в точке $x=2$.

б) $f(x) = \begin{cases} -\frac{4}{x+1}, & \text{если } x < -1 \\ -3x^2 + 3, & \text{если } -1 \le x \le 2 \end{cases}$

Построение графика:
График функции состоит из двух частей.

1. На промежутке $(-\infty, -1)$ строим график функции $y = -\frac{4}{x+1}$. Это гипербола $y = -\frac{4}{x}$, смещенная на 1 единицу влево. Вертикальная асимптота $x = -1$, горизонтальная асимптота $y=0$. Для $x < -1$ знаменатель $(x+1)$ отрицателен, значит $y > 0$. Построим по точкам:
   • При $x = -2$, $y = -\frac{4}{-2+1} = 4$. Точка $(-2, 4)$.
   • При $x = -3$, $y = -\frac{4}{-3+1} = 2$. Точка $(-3, 2)$.
   • При $x = -5$, $y = -\frac{4}{-5+1} = 1$. Точка $(-5, 1)$.
   При $x \to -1$ слева, $y \to +\infty$.
2. На промежутке $[-1, 2]$ строим график функции $y = -3x^2 + 3$. Это часть параболы, ветви которой направлены вниз. Вершина параболы находится в точке $x = -\frac{0}{2 \cdot (-3)} = 0$, $y = -3(0)^2 + 3 = 3$. Точка $(0, 3)$. Вычислим значения на концах промежутка и найдем нули:
   • При $x = -1$, $y = -3(-1)^2 + 3 = 0$. Точка $(-1, 0)$.
   • При $x = 2$, $y = -3(2)^2 + 3 = -12 + 3 = -9$. Точка $(2, -9)$.
   • Нули функции: $-3x^2 + 3 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1$. Оба корня принадлежат отрезку $[-1, 2]$. Точки пересечения с осью Ox: $(-1, 0)$ и $(1, 0)$.
   Соединяем точки $(-1, 0)$, $(0, 3)$, $(1, 0)$ и $(2, -9)$ плавной кривой.

В точке $x=-1$ функция имеет бесконечный разрыв.

Свойства функции:

• Область определения: $D(f) = (-\infty, -1) \cup [-1, 2] = (-\infty, 2]$.
• Область значений: На промежутке $(-\infty, -1)$ значения функции от $0$ (не включая) до $+\infty$. На промежутке $[-1, 2]$ максимальное значение достигается в вершине $y=3$, а минимальное на конце отрезка $y=-9$. Область значений на этом куске $[-9, 3]$. Объединяя множества, получаем $E(f) = [-9, 3] \cup (0, +\infty) = [-9, +\infty)$.
• Четность/нечетность: Область определения $(-\infty, 2]$ несимметрична относительно нуля, следовательно, функция не является ни четной, ни нечетной.
• Нули функции: $x = -1$ и $x = 1$.
• Промежутки знакопостоянства:
  • $f(x) > 0$ при $x \in (-\infty, -1) \cup (-1, 1)$.
  • $f(x) < 0$ при $x \in (1, 2]$.
• Промежутки монотонности:
  • Производная $y' = (-\frac{4}{x+1})' = \frac{4}{(x+1)^2} > 0$ при $x < -1$. Функция возрастает на $(-\infty, -1)$.
  • Производная $y' = (-3x^2 + 3)' = -6x$. При $-1 \le x < 0$, $y' > 0$, функция возрастает. При $0 < x \le 2$, $y' < 0$, функция убывает.
  • Итого: функция возрастает на $(-\infty, -1)$ и на $[-1, 0]$; убывает на $[0, 2]$.
• Экстремумы:
  • $x=0$ - точка локального максимума, $y_{max} = f(0) = 3$.
  • $x=2$ - точка минимума на конце отрезка, это глобальный минимум функции, $y_{min} = f(2) = -9$.
  • Глобального максимума нет, так как функция неограничена сверху.
• Непрерывность: Функция непрерывна на промежутках $(-\infty, -1)$ и $[-1, 2]$. В точке $x=-1$ она терпит разрыв второго рода (бесконечный разрыв), так как $\lim_{x\to -1-} f(x) = +\infty$.

Ответ: График функции построен. Свойства функции: $D(f)=(-\infty, 2]$, $E(f)=[-9, +\infty)$, ни четная, ни нечетная, нули при $x=-1, x=1$, $f(x)>0$ при $x \in (-\infty, -1) \cup (-1, 1)$, $f(x)<0$ при $x \in (1, 2]$, возрастает на $(-\infty, -1)$ и на $[-1, 0]$, убывает на $[0, 2]$, $y_{max.loc}=3$, $y_{min.glob}=-9$, имеет разрыв второго рода в точке $x=-1$.