Номер 56, страница 226, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Итоговое повторение. Часть 2 - номер 56, страница 226.

Условие.

56. a) Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = x^2 - 3x + 2$. При каком значении $x$ выполняется равенство $f(x + 2) = f(x - 1)$?

б) Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = x^2 - 5x + 6$. При каком значении $x$ выполняется равенство $f(x + 1) = f(x - 3)$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) Для нахождения значения $x$, при котором выполняется равенство $f(x + 2) = f(x - 1)$, где $f(x) = x^2 - 3x + 2$, необходимо подставить в функцию вместо $x$ выражения $(x + 2)$ и $(x - 1)$, а затем приравнять полученные результаты.

1. Найдем выражение для $f(x + 2)$:
$f(x + 2) = (x + 2)^2 - 3(x + 2) + 2$
Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ и распределительный закон:
$f(x + 2) = (x^2 + 4x + 4) - (3x + 6) + 2 = x^2 + 4x + 4 - 3x - 6 + 2$
Приведем подобные слагаемые:
$f(x + 2) = x^2 + x$.

2. Найдем выражение для $f(x - 1)$:
$f(x - 1) = (x - 1)^2 - 3(x - 1) + 2$
Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ и распределительный закон:
$f(x - 1) = (x^2 - 2x + 1) - (3x - 3) + 2 = x^2 - 2x + 1 - 3x + 3 + 2$
Приведем подобные слагаемые:
$f(x - 1) = x^2 - 5x + 6$.

3. Приравняем полученные выражения и решим уравнение:
$f(x + 2) = f(x - 1)$
$x^2 + x = x^2 - 5x + 6$
Перенесем члены с $x$ в левую часть, а свободные члены в правую. Члены $x^2$ взаимно уничтожаются:
$x + 5x = 6$
$6x = 6$
$x = 1$.

Ответ: $x = 1$.

б) Для нахождения значения $x$, при котором выполняется равенство $f(x + 1) = f(x - 3)$, где $f(x) = x^2 - 5x + 6$, поступим аналогичным образом.

1. Найдем выражение для $f(x + 1)$:
$f(x + 1) = (x + 1)^2 - 5(x + 1) + 6$
Раскроем скобки и упростим:
$f(x + 1) = (x^2 + 2x + 1) - (5x + 5) + 6 = x^2 + 2x + 1 - 5x - 5 + 6$
$f(x + 1) = x^2 - 3x + 2$.

2. Найдем выражение для $f(x - 3)$:
$f(x - 3) = (x - 3)^2 - 5(x - 3) + 6$
Раскроем скобки и упростим:
$f(x - 3) = (x^2 - 6x + 9) - (5x - 15) + 6 = x^2 - 6x + 9 - 5x + 15 + 6$
$f(x - 3) = x^2 - 11x + 30$.

3. Приравняем полученные выражения и решим уравнение:
$f(x + 1) = f(x - 3)$
$x^2 - 3x + 2 = x^2 - 11x + 30$
Члены $x^2$ взаимно уничтожаются:
$-3x + 2 = -11x + 30$
Перенесем члены с $x$ в левую часть, а свободные члены в правую:
$11x - 3x = 30 - 2$
$8x = 28$
$x = \frac{28}{8} = \frac{7}{2} = 3.5$.

Ответ: $x = 3.5$.