Номер 58, страница 227, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Итоговое повторение. Часть 2 - номер 58, страница 227.

Условие.

58 а) Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = \frac{1}{x}$. При каком значении $x$ выполняется равенство $f(x^2 - 1) = f(3x^2 - 3x)$?

б) Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = \frac{2}{x + 1}$. При каком значении $x$ выполняется равенство $f(x^2 - 2x) = f(x - 2)$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = \frac{1}{x}$. Требуется найти значение $x$, при котором выполняется равенство $f(x^2 - 1) = f(3x^2 - 3x)$.

Для решения подставим аргументы $(x^2 - 1)$ и $(3x^2 - 3x)$ в определение функции $f(x)$:

$f(x^2 - 1) = \frac{1}{x^2 - 1}$

$f(3x^2 - 3x) = \frac{1}{3x^2 - 3x}$

Теперь приравняем эти два выражения:

$\frac{1}{x^2 - 1} = \frac{1}{3x^2 - 3x}$

Это равенство выполняется, если равны знаменатели, при условии, что они не равны нулю. Найдем область допустимых значений (ОДЗ), исключив значения $x$, при которых знаменатели обращаются в ноль.

$x^2 - 1 \neq 0 \implies (x-1)(x+1) \neq 0 \implies x \neq 1$ и $x \neq -1$.

$3x^2 - 3x \neq 0 \implies 3x(x - 1) \neq 0 \implies x \neq 0$ и $x \neq 1$.

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x$ не может быть равен $-1$, $0$ или $1$.

Теперь решим уравнение, приравняв знаменатели:

$x^2 - 1 = 3x^2 - 3x$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону:

$3x^2 - x^2 - 3x + 1 = 0$

$2x^2 - 3x + 1 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 1}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 1}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ.

Корень $x_1 = 1$ не входит в ОДЗ, так как при этом значении знаменатели исходных дробей равны нулю. Следовательно, это посторонний корень.

Корень $x_2 = \frac{1}{2}$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $\frac{1}{2}$

б) Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = \frac{2}{x+1}$. Требуется найти значение $x$, при котором выполняется равенство $f(x^2 - 2x) = f(x - 2)$.

Подставим аргументы $(x^2 - 2x)$ и $(x - 2)$ в определение функции $f(x)$:

$f(x^2 - 2x) = \frac{2}{(x^2 - 2x) + 1} = \frac{2}{x^2 - 2x + 1}$

$f(x - 2) = \frac{2}{(x - 2) + 1} = \frac{2}{x - 1}$

Теперь приравняем полученные выражения:

$\frac{2}{x^2 - 2x + 1} = \frac{2}{x - 1}$

Поскольку числители дробей равны и не равны нулю, равенство будет выполняться, если равны их знаменатели. Найдем ОДЗ:

$x^2 - 2x + 1 \neq 0 \implies (x-1)^2 \neq 0 \implies x \neq 1$.

$x - 1 \neq 0 \implies x \neq 1$.

ОДЗ: $x \neq 1$.

Теперь решим уравнение, приравняв знаменатели:

$x^2 - 2x + 1 = x - 1$

Перенесем все члены в левую часть:

$x^2 - 2x - x + 1 + 1 = 0$

$x^2 - 3x + 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = 3$

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = 2$

Отсюда находим корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \neq 1$).

Корень $x_1 = 1$ не удовлетворяет ОДЗ, так как при $x=1$ знаменатели обращаются в ноль. Это посторонний корень.

Корень $x_2 = 2$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $2$