Номер 60, страница 227, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 2. Итоговое повторение - номер 60, страница 227.

Условие.

60. а) Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = x^2 + 7x + 12$. При каких значениях $x$ выполняется неравенство $f(x + 3) > f(0)$?

б) Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = x^2 - 4x + 3$. При каких значениях $x$ выполняется неравенство $f(x - 1) \le f(1)$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а)

Дана функция $f(x) = x^2 + 7x + 12$. Необходимо решить неравенство $f(x + 3) > f(0)$.
1. Сначала найдем значение функции при $x=0$:
$f(0) = 0^2 + 7 \cdot 0 + 12 = 12$.
2. Теперь найдем выражение для $f(x + 3)$, подставив $(x+3)$ вместо $x$ в определение функции:
$f(x + 3) = (x + 3)^2 + 7(x + 3) + 12$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$f(x + 3) = (x^2 + 6x + 9) + (7x + 21) + 12 = x^2 + 13x + 42$.
3. Подставим полученные выражения в исходное неравенство:
$x^2 + 13x + 42 > 12$.
4. Перенесем 12 в левую часть, чтобы получить квадратное неравенство в стандартном виде:
$x^2 + 13x + 30 > 0$.
5. Для решения неравенства найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 13x + 30 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна $-13$, а их произведение равно $30$. Отсюда корни: $x_1 = -10$ и $x_2 = -3$.
6. Графиком функции $y = x^2 + 13x + 30$ является парабола, ветви которой направлены вверх (коэффициент при $x^2$ положителен). Значения функции будут положительны (больше нуля) на интервалах, находящихся вне корней.
Таким образом, решением неравенства является объединение интервалов $(-\infty; -10)$ и $(-3; +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty; -10) \cup (-3; +\infty)$.

б)

Дана функция $f(x) = x^2 - 4x + 3$. Необходимо решить неравенство $f(x - 1) \le f(1)$.
1. Сначала найдем значение функции при $x=1$:
$f(1) = 1^2 - 4 \cdot 1 + 3 = 1 - 4 + 3 = 0$.
2. Теперь найдем выражение для $f(x - 1)$, подставив $(x-1)$ вместо $x$ в определение функции:
$f(x - 1) = (x - 1)^2 - 4(x - 1) + 3$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$f(x - 1) = (x^2 - 2x + 1) - (4x - 4) + 3 = x^2 - 2x + 1 - 4x + 4 + 3 = x^2 - 6x + 8$.
3. Подставим полученные выражения в исходное неравенство:
$x^2 - 6x + 8 \le 0$.
4. Для решения неравенства найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 6x + 8 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна $6$, а их произведение равно $8$. Отсюда корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = 4$.
5. Графиком функции $y = x^2 - 6x + 8$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции будут неположительны (меньше или равны нулю) на отрезке между корнями, включая сами корни.
Таким образом, решением неравенства является отрезок $[2; 4]$.
Ответ: $x \in [2; 4]$.