Номер 66, страница 228, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Итоговое повторение. Часть 2 - номер 66, страница 228.

Условие.

66 Постройте график уравнения:

a) $(xy - 6)(\sqrt{x + 4} + y) = 0;$

б) $(y + x^2 - 3)(y^2 - x) = 0;$

в) $(y - 2x^2 + 1)(xy + 8) = 0;$

г) $(\sqrt{x^2} - y)(x^2 - 4x + y) = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) Данное уравнение $(xy - 6)(\sqrt{x+4} + y) = 0$ представляет собой произведение двух множителей, которое равно нулю. Это возможно, если один из множителей равен нулю, при условии, что все выражение имеет смысл. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x + 4 \ge 0$, откуда $x \ge -4$. Таким образом, уравнение равносильно совокупности двух систем:
1) $\begin{cases} xy - 6 = 0 \\ x \ge -4 \end{cases} \implies \begin{cases} y = \frac{6}{x} \\ x \ge -4, x \neq 0 \end{cases}$
2) $\begin{cases} \sqrt{x+4} + y = 0 \\ x \ge -4 \end{cases} \implies \begin{cases} y = -\sqrt{x+4} \\ x \ge -4 \end{cases}$
График первого уравнения системы — это гипербола $y = \frac{6}{x}$ с ветвями в I и III координатных четвертях. Учитывая ОДЗ, мы строим эту гиперболу только для $x \ge -4$ (точка $x=0$ выколота).
График второго уравнения — это $y = -\sqrt{x+4}$. Это нижняя ветвь параболы $x = y^2 - 4$ (так как $y \le 0$). Вершина этой параболы находится в точке $(-4, 0)$, и ее ветви направлены вправо.
Искомый график является объединением этих двух графиков.
Ответ: График уравнения — это объединение гиперболы $y = 6/x$ (рассматриваемой при $x \geq -4, x \neq 0$) и нижней ветви параболы $x=y^2-4$, заданной уравнением $y=-\sqrt{x+4}$.

б) Уравнение $(y + x^2 - 3)(y^2 - x) = 0$ распадается на совокупность двух уравнений, так как произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения — все действительные числа.
Совокупность уравнений:
1) $y + x^2 - 3 = 0 \implies y = -x^2 + 3$. Это уравнение параболы, ветви которой направлены вниз. Вершина параболы находится в точке $(0, 3)$.
2) $y^2 - x = 0 \implies x = y^2$. Это уравнение параболы, ветви которой направлены вправо. Вершина параболы находится в точке $(0, 0)$, и она симметрична относительно оси Ox.
График исходного уравнения является объединением этих двух парабол.
Ответ: График уравнения — это объединение двух парабол: параболы $y = -x^2 + 3$ с вершиной в $(0, 3)$ и ветвями вниз, и параболы $x = y^2$ с вершиной в $(0, 0)$ и ветвями вправо.

в) Уравнение $(y - 2x^2 + 1)(xy + 8) = 0$ эквивалентно совокупности двух уравнений, поскольку произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. ОДЗ: $x \in \mathbb{R}, y \in \mathbb{R}$.
Рассмотрим два случая:
1) $y - 2x^2 + 1 = 0 \implies y = 2x^2 - 1$. Это уравнение параболы, ветви которой направлены вверх. Вершина параболы находится в точке $(0, -1)$.
2) $xy + 8 = 0 \implies y = -\frac{8}{x}$. Это уравнение гиперболы с ветвями во II и IV координатных четвертях. Асимптотами являются оси координат $x=0$ и $y=0$.
Искомый график представляет собой объединение параболы $y = 2x^2 - 1$ и гиперболы $y = -8/x$.
Ответ: График уравнения — это объединение параболы $y = 2x^2 - 1$ (вершина в $(0, -1)$, ветви вверх) и гиперболы $y = -8/x$ (ветви во II и IV квадрантах).

г) Рассмотрим уравнение $(\sqrt{x^2} - y)(x^2 - 4x + y) = 0$. Упростим выражение $\sqrt{x^2} = |x|$. Уравнение принимает вид $(|x| - y)(x^2 - 4x + y) = 0$.
Это уравнение распадается на совокупность двух уравнений. ОДЗ: $x, y$ — любые действительные числа.
1) $|x| - y = 0 \implies y = |x|$. Графиком этой функции является объединение двух лучей: $y = x$ при $x \ge 0$ и $y = -x$ при $x < 0$. График имеет V-образную форму с вершиной в начале координат.
2) $x^2 - 4x + y = 0 \implies y = -x^2 + 4x$. Это уравнение параболы, ветви которой направлены вниз. Найдем вершину: $x_v = -\frac{4}{2(-1)} = 2$, $y_v = -(2)^2 + 4(2) = 4$. Вершина находится в точке $(2, 4)$. Парабола пересекает ось Ox в точках $(0, 0)$ и $(4, 0)$.
График исходного уравнения является объединением графика функции $y = |x|$ и параболы $y = -x^2 + 4x$.
Ответ: График уравнения — это объединение графика модуля $y=|x|$ и параболы $y = -x^2 + 4x$ с вершиной в точке $(2, 4)$ и ветвями вниз.