Номер 71, страница 229, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Итоговое повторение. Часть 2 - номер 71, страница 229.

Условие.

71 а) $y = \frac{4}{|x|}$;

б) $y = \frac{3}{|x + 1|}$;

в) $y = \frac{12}{|x|} - 3$;

г) $y = - \frac{2}{|x|}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) $y = \frac{4}{|x|}$

Данная функция является вариацией обратной пропорциональности $y = \frac{k}{x}$. Особенностью является наличие модуля в знаменателе.

1. Построение графика.
График функции $y = f(|x|)$ можно построить из графика функции $y = f(x)$ следующим образом:
- Строим график функции $y = f(x)$ для $x \ge 0$.
- Отражаем полученную часть графика симметрично относительно оси Oy.
В нашем случае, $f(x) = \frac{4}{x}$.
- Для $x > 0$, имеем $|x| = x$, и функция принимает вид $y = \frac{4}{x}$. Это ветвь гиперболы, расположенная в первой координатной четверти.
- Для $x < 0$, имеем $|x| = -x$, и функция принимает вид $y = \frac{4}{-x} = -\frac{4}{x}$. Это ветвь гиперболы, расположенная во второй координатной четверти.
Таким образом, график состоит из двух ветвей, симметричных относительно оси Oy и расположенных в первой и второй четвертях.

2. Свойства функции.
- Область определения: Знаменатель не может быть равен нулю, т.е. $|x| \neq 0$, откуда $x \neq 0$.
$D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
- Область значений: Так как числитель $4 > 0$ и знаменатель $|x| > 0$ для всех $x$ из области определения, то $y$ всегда будет принимать только положительные значения.
$E(y) = (0; +\infty)$.
- Четность: Функция является четной, так как $y(-x) = \frac{4}{|-x|} = \frac{4}{|x|} = y(x)$. График симметричен относительно оси Oy.
- Асимптоты:
- Вертикальная асимптота: $x = 0$ (ось Oy).
- Горизонтальная асимптота: $y = 0$ (ось Ox), так как при $x \to \pm\infty$, $y \to 0$.
- Монотонность:
- Функция возрастает на промежутке $(-\infty; 0)$.
- Функция убывает на промежутке $(0; +\infty)$.

Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Область значений $E(y) = (0; +\infty)$. Функция четная. Асимптоты: $x=0$ и $y=0$. Возрастает на $(-\infty; 0)$, убывает на $(0; +\infty)$.

б) $y = \frac{3}{|x + 1|}$

График этой функции можно получить путем преобразования графика базовой функции $y = \frac{3}{|x|}$.

1. Построение графика.
- Сначала рассмотрим график функции $y = \frac{3}{|x|}$. Он аналогичен графику из пункта а), это две ветви гиперболы в I и II четвертях с асимптотами $x=0$ и $y=0$.
- Преобразование $f(x) \to f(x+a)$ соответствует сдвигу графика вдоль оси Ox на $a$ единиц влево. В нашем случае $a=1$, поэтому мы сдвигаем график функции $y = \frac{3}{|x|}$ на 1 единицу влево.
- В результате сдвига, вертикальная асимптота $x=0$ смещается в $x=-1$. Горизонтальная асимптота $y=0$ остается на месте.

2. Свойства функции.
- Область определения: $|x + 1| \neq 0$, откуда $x + 1 \neq 0$, то есть $x \neq -1$.
$D(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.
- Область значений: Аналогично пункту а), дробь всегда положительна.
$E(y) = (0; +\infty)$.
- Четность: Функция не является ни четной, ни нечетной (общего вида), так как $y(-x) = \frac{3}{|-x+1|} = \frac{3}{|x-1|} \neq \pm y(x)$. Однако ее график симметричен относительно прямой $x = -1$.
- Асимптоты:
- Вертикальная асимптота: $x = -1$.
- Горизонтальная асимптота: $y = 0$.
- Монотонность:
- Функция возрастает на промежутке $(-\infty; -1)$.
- Функция убывает на промежутке $(-1; +\infty)$.

Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$. Область значений $E(y) = (0; +\infty)$. Функция общего вида. Асимптоты: $x=-1$ и $y=0$. Возрастает на $(-\infty; -1)$, убывает на $(-1; +\infty)$.

в) $y = \frac{12}{|x|} - 3$

График этой функции можно получить путем преобразования графика функции $y = \frac{12}{|x|}$.

1. Построение графика.
- Базовый график $y = \frac{12}{|x|}$ аналогичен графику из пункта а).
- Преобразование $f(x) \to f(x) - c$ соответствует сдвигу графика вдоль оси Oy на $c$ единиц вниз. В нашем случае $c=3$, поэтому мы сдвигаем график функции $y = \frac{12}{|x|}$ на 3 единицы вниз.
- Вертикальная асимптота $x=0$ не изменяется. Горизонтальная асимптота $y=0$ смещается на 3 единицы вниз и становится $y=-3$.

2. Свойства функции.
- Область определения: $|x| \neq 0$, откуда $x \neq 0$.
$D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
- Область значений: Выражение $\frac{12}{|x|}$ принимает значения в интервале $(0; +\infty)$. Тогда вся функция $y = \frac{12}{|x|} - 3$ принимает значения в интервале $(0-3; +\infty-3)$.
$E(y) = (-3; +\infty)$.
- Четность: Функция является четной, так как $y(-x) = \frac{12}{|-x|} - 3 = \frac{12}{|x|} - 3 = y(x)$. График симметричен относительно оси Oy.
- Асимптоты:
- Вертикальная асимптота: $x = 0$.
- Горизонтальная асимптота: $y = -3$.
- Монотонность: Сдвиг вниз не меняет характер монотонности.
- Функция возрастает на промежутке $(-\infty; 0)$.
- Функция убывает на промежутке $(0; +\infty)$.
- Нули функции (пересечение с осью Ox): $y=0 \implies \frac{12}{|x|} - 3 = 0 \implies \frac{12}{|x|} = 3 \implies |x| = 4 \implies x = \pm 4$.

Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Область значений $E(y) = (-3; +\infty)$. Функция четная. Асимптоты: $x=0$ и $y=-3$. Возрастает на $(-\infty; 0)$, убывает на $(0; +\infty)$. Нули функции: $x=\pm 4$.

г) $y = -\frac{2}{|x|}$

График этой функции можно получить путем преобразования графика функции $y = \frac{2}{|x|}$.

1. Построение графика.
- Базовый график $y = \frac{2}{|x|}$ имеет две ветви в I и II четвертях.
- Преобразование $f(x) \to -f(x)$ соответствует симметричному отражению графика относительно оси Ox.
- Таким образом, ветви графика $y = \frac{2}{|x|}$ из верхней полуплоскости отразятся в нижнюю. График функции $y = -\frac{2}{|x|}$ будет состоять из двух ветвей, расположенных в III и IV координатных четвертях.

2. Свойства функции.
- Область определения: $|x| \neq 0$, откуда $x \neq 0$.
$D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
- Область значений: Выражение $\frac{2}{|x|}$ всегда положительно, значит $-\frac{2}{|x|}$ всегда отрицательно.
$E(y) = (-\infty; 0)$.
- Четность: Функция является четной, так как $y(-x) = -\frac{2}{|-x|} = -\frac{2}{|x|} = y(x)$. График симметричен относительно оси Oy.
- Асимптоты:
- Вертикальная асимптота: $x = 0$.
- Горизонтальная асимптота: $y = 0$.
- Монотонность: Отражение относительно оси Ox меняет характер монотонности на противоположный.
- Функция убывает на промежутке $(-\infty; 0)$.
- Функция возрастает на промежутке $(0; +\infty)$.

Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Область значений $E(y) = (-\infty; 0)$. Функция четная. Асимптоты: $x=0$ и $y=0$. Убывает на $(-\infty; 0)$, возрастает на $(0; +\infty)$.