Номер 67, страница 228, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Итоговое повторение. Часть 2 - номер 67, страница 228.

Условие.

67 Постройте график функции $y = f(x)$, где:

a) $f(x) = \begin{cases} x^2 - 4, \text{ если } x \le -2 \text{ и } x \ge 2; \\ -(x^2 - 4), \text{ если } -2 < x < 2; \end{cases}$

б) $f(x) = \begin{cases} -(x^2 - 9), \text{ если } -3 \le x \le 3; \\ x^2 - 9, \text{ если } x < -3 \text{ и } x > 3. \end{cases}$

Используя определение модуля, запишите заданную кусочную функцию в виде $y = |f(x)|$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а)

Рассмотрим заданную кусочную функцию:

$f(x) = \begin{cases} x^2 - 4, & \text{если } x \le -2 \text{ и } x \ge 2 \\ -(x^2 - 4), & \text{если } -2 < x < 2 \end{cases}$

Для построения графика и приведения функции к требуемому виду, проанализируем выражение $g(x) = x^2 - 4$.

1. Анализ выражения $x^2 - 4$

Данное выражение задает параболу с ветвями, направленными вверх. Найдем ее нули, то есть точки пересечения с осью абсцисс (Ox):

$x^2 - 4 = 0 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x_1 = -2, x_2 = 2$.

Определим знаки выражения на интервалах, на которые ось Ox разбивается нулями функции. Если $x < -2$ или $x > 2$, то $x^2 > 4$, и, следовательно, $x^2 - 4 > 0$. Если $-2 < x < 2$, то $x^2 < 4$, и, следовательно, $x^2 - 4 < 0$. Если $x = -2$ или $x = 2$, то $x^2 - 4 = 0$. Итак, выражение $x^2 - 4$ является неотрицательным ($x^2 - 4 \ge 0$) при $x \in (-\infty, -2] \cup [2, \infty)$ и отрицательным ($x^2 - 4 < 0$) при $x \in (-2, 2)$.

2. Приведение к виду с модулем

Сравним условия в определении кусочной функции $f(x)$ с полученными знаками выражения $x^2 - 4$. При $x \le -2$ и $x \ge 2$, где $x^2 - 4 \ge 0$, по условию $f(x) = x^2 - 4$. При $-2 < x < 2$, где $x^2 - 4 < 0$, по условию $f(x) = -(x^2 - 4)$.

Это полностью соответствует определению модуля: $|a| = a$, если $a \ge 0$, и $|a| = -a$, если $a < 0$. Таким образом, заданную кусочную функцию можно записать в виде функции с модулем:

$y = f(x) = |x^2 - 4|$.

3. Построение графика

График функции $y = |x^2 - 4|$ строится в два шага:

1. Строим график базовой функции $y = x^2 - 4$. Это парабола, полученная смещением графика $y=x^2$ на 4 единицы вниз. Ее вершина находится в точке $(0, -4)$, а ось Ox она пересекает в точках $(-2, 0)$ и $(2, 0)$.

2. Применяем операцию взятия модуля. Та часть графика, которая находится выше или на оси Ox (где $y \ge 0$), остается без изменений. Это участки при $x \le -2$ и $x \ge 2$. Та часть графика, которая находится ниже оси Ox (где $y < 0$), симметрично отражается относительно оси Ox. Это участок параболы между $x = -2$ и $x = 2$.

В результате отражения, часть параболы $y = x^2 - 4$ на интервале $(-2, 2)$ преобразуется в график функции $y = -(x^2 - 4) = 4 - x^2$. Вершина $(0, -4)$ переходит в точку $(0, 4)$.

Итоговый график состоит из трех гладко соединенных частей: ветви параболы $y = x^2 - 4$ на $(-\infty, -2]$, арки параболы $y = 4 - x^2$ на $(-2, 2)$, и ветви параболы $y = x^2 - 4$ на $[2, \infty)$.

Ответ: Заданную функцию можно записать в виде $y = |x^2 - 4|$. График функции получается из параболы $y = x^2 - 4$ путем симметричного отражения ее части, расположенной ниже оси абсцисс (на интервале $x \in (-2, 2)$), относительно этой оси.

б)

Рассмотрим заданную кусочную функцию:

$f(x) = \begin{cases} -(x^2 - 9), & \text{если } -3 \le x \le 3 \\ x^2 - 9, & \text{если } x < -3 \text{ и } x > 3 \end{cases}$

Действуем аналогично предыдущему пункту, взяв за основу выражение $g(x) = x^2 - 9$.

1. Анализ выражения $x^2 - 9$

Это выражение задает параболу с ветвями вверх. Ее нули:

$x^2 - 9 = 0 \Rightarrow x^2 = 9 \Rightarrow x_1 = -3, x_2 = 3$.

Определим знаки выражения: Если $x < -3$ или $x > 3$, то $x^2 > 9$, значит, $x^2 - 9 > 0$. Если $-3 < x < 3$, то $x^2 < 9$, значит, $x^2 - 9 < 0$. В точках $x = -3$ и $x = 3$ выражение равно нулю. Следовательно, $x^2 - 9$ положительно при $x \in (-\infty, -3) \cup (3, \infty)$ и неположительно ($x^2 - 9 \le 0$) при $x \in [-3, 3]$.

2. Приведение к виду с модулем

Сравним условия из определения $f(x)$ со знаками $x^2 - 9$. При $x < -3$ и $x > 3$, где $x^2 - 9 > 0$, по условию $f(x) = x^2 - 9$. При $-3 \le x \le 3$, где $x^2 - 9 \le 0$, по условию $f(x) = -(x^2 - 9)$.

Это снова в точности определение модуля. Таким образом, функцию можно записать как:

$y = f(x) = |x^2 - 9|$.

3. Построение графика

График функции $y = |x^2 - 9|$ строится аналогично:

1. Строим параболу $y = x^2 - 9$. Вершина в точке $(0, -9)$, нули в точках $(-3, 0)$ и $(3, 0)$.

2. Отражаем часть графика, лежащую ниже оси Ox, относительно этой оси. Это участок параболы на интервале $(-3, 3)$.

В результате отражения участок параболы $y = x^2 - 9$ на интервале $(-3, 3)$ становится графиком функции $y = -(x^2 - 9) = 9 - x^2$. Вершина $(0, -9)$ переходит в точку $(0, 9)$.

Итоговый график состоит из ветвей параболы $y = x^2 - 9$ при $x < -3$ и $x > 3$ и арки параболы $y = 9 - x^2$ на отрезке $[-3, 3]$.

Ответ: Заданную функцию можно записать в виде $y = |x^2 - 9|$. График функции получается из параболы $y = x^2 - 9$ путем симметричного отражения ее части, расположенной ниже оси абсцисс (на интервале $x \in (-3, 3)$), относительно этой оси.