Номер 64, страница 228, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Итоговое повторение. Часть 2 - номер 64, страница 228.

Условие.

64 Постройте график функции $y = f(x)$, где

$f(x) = \begin{cases} x^2 + 4x + 3, & \text{если } x < -1 \\ -x^2 + 1, & \text{если } x \ge -1 \end{cases}$

С помощью графика определите, при каких значениях $p$ уравнение $f(x) = p$ имеет один корень, два корня, три корня.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Задача состоит из двух частей: построение графика кусочно-заданной функции и анализ количества корней уравнения $f(x)=p$ в зависимости от параметра $p$.

Построение графика функции $y = f(x)$

Функция задана двумя различными выражениями на двух интервалах. Построим каждую часть отдельно.

1. При $x < -1$ имеем функцию $y = x^2 + 4x + 3$.

Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх (коэффициент при $x^2$ равен 1, что больше нуля).

Найдем координаты вершины параболы ($x_в, y_в$):

$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2$.

$y_в = f(-2) = (-2)^2 + 4(-2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$.

Вершина параболы находится в точке $(-2, -1)$. Так как $x_в = -2 < -1$, вершина принадлежит этой части графика и является точкой локального минимума всей функции $f(x)$.

Найдем значение функции на границе интервала, в точке $x = -1$. Поскольку неравенство строгое ($x < -1$), точка на графике будет выколотой (незакрашенной).

$y(-1) = (-1)^2 + 4(-1) + 3 = 1 - 4 + 3 = 0$.

Таким образом, эта часть графика представляет собой ветвь параболы, начинающуюся от вершины $(-2, -1)$ и проходящую через точку $(-3, 0)$ (корень уравнения $x^2+4x+3=0$), стремящуюся к выколотой точке $(-1, 0)$.

2. При $x \ge -1$ имеем функцию $y = -x^2 + 1$.

Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вниз (коэффициент при $x^2$ равен -1, что меньше нуля).

Найдем координаты вершины параболы:

$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot (-1)} = 0$.

$y_в = f(0) = -(0)^2 + 1 = 1$.

Вершина параболы находится в точке $(0, 1)$. Так как $x_в = 0 \ge -1$, вершина принадлежит этой части графика и является точкой локального максимума.

Найдем значение функции на границе интервала, в точке $x = -1$. Поскольку неравенство нестрогое ($x \ge -1$), точка на графике будет закрашенной.

$y(-1) = -(-1)^2 + 1 = -1 + 1 = 0$.

Эта часть графика начинается в точке $(-1, 0)$, которая "закрашивает" выколотую точку от первой части, делая функцию непрерывной. График достигает максимума в точке $(0, 1)$ и затем убывает, пересекая ось абсцисс в точке $(1, 0)$.

Определение количества корней уравнения $f(x)=p$

Количество корней уравнения $f(x) = p$ соответствует количеству точек пересечения графика функции $y=f(x)$ с горизонтальной прямой $y=p$. Проанализируем это количество, мысленно перемещая прямую $y=p$ вдоль оси ординат.

Один корень

Уравнение имеет один корень, когда прямая $y=p$ касается графика в одной точке. Это происходит, когда прямая проходит через точку локального минимума, то есть через вершину первой параболы $(-2, -1)$.

Ответ: $p = -1$.

Два корня

Уравнение имеет два корня в двух случаях. Во-первых, когда прямая $y=p$ касается графика в точке локального максимума $(0, 1)$, пересекая при этом левую ветвь графика. Это происходит при $p=1$. Во-вторых, когда прямая $y=p$ расположена выше локального максимума, пересекая обе ветви графика (левую ветвь первой параболы и правую ветвь второй). Это происходит при $p > 1$.

Объединяя эти два случая, получаем, что уравнение имеет два корня при $p \ge 1$.

Ответ: $p \ge 1$.

Три корня

Уравнение имеет три корня, когда прямая $y=p$ пересекает график в трех точках. Это происходит, когда прямая расположена строго между локальным минимумом ($y=-1$) и локальным максимумом ($y=1$).

При $-1 < p < 0$ прямая пересекает первую параболу в двух точках и вторую в одной.

При $p=0$ прямая пересекает график в точках с абсциссами $x=-3, x=-1, x=1$.

При $0 < p < 1$ прямая пересекает первую параболу в одной точке и вторую в двух.

Таким образом, уравнение имеет три корня при $-1 < p < 1$.

Ответ: $p \in (-1; 1)$.