Номер 70, страница 229, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Итоговое повторение. Часть 2 - номер 70, страница 229.

Условие.

70 a) $y = - \frac{\sqrt{x^2 - 2x + 1}}{x - 1}$;

б) $y = \frac{|x+1|}{x+1}(x^2 - 2x - 3)$;

в) $y = \frac{x+2}{\sqrt{x^2 + 4x + 4}}$;

г) $y = \frac{5-x}{|x-5|}(-x^2 + 6x - 5)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) Дана функция $y = -\frac{\sqrt{x^2 - 2x + 1}}{x - 1}$.
Область определения функции (ОДЗ): знаменатель не может быть равен нулю, следовательно, $x - 1 \neq 0$, то есть $x \neq 1$.
Упростим выражение в числителе. Заметим, что подкоренное выражение является полным квадратом: $x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$.
Тогда $\sqrt{x^2 - 2x + 1} = \sqrt{(x - 1)^2} = |x - 1|$.
Функция принимает вид: $y = -\frac{|x - 1|}{x - 1}$.
Теперь рассмотрим два случая для раскрытия модуля:
1. Если $x - 1 > 0$, то есть $x > 1$, то $|x - 1| = x - 1$. В этом случае функция равна $y = -\frac{x - 1}{x - 1} = -1$.
2. Если $x - 1 < 0$, то есть $x < 1$, то $|x - 1| = -(x - 1)$. В этом случае функция равна $y = -\frac{-(x - 1)}{x - 1} = -(-1) = 1$.
Таким образом, мы получили кусочно-постоянную функцию с точкой разрыва при $x=1$.
Ответ: $y = \begin{cases} 1, & \text{если } x < 1 \\ -1, & \text{если } x > 1 \end{cases}$.

б) Дана функция $y = \frac{|x + 1|}{x + 1}(x^2 - 2x - 3)$.
ОДЗ: знаменатель не может быть равен нулю, следовательно, $x + 1 \neq 0$, то есть $x \neq -1$.
Рассмотрим дробь $\frac{|x + 1|}{x + 1}$:
1. Если $x + 1 > 0$, то есть $x > -1$, то $|x + 1| = x + 1$, и дробь равна $\frac{x + 1}{x + 1} = 1$. Функция принимает вид $y = 1 \cdot (x^2 - 2x - 3) = x^2 - 2x - 3$.
2. Если $x + 1 < 0$, то есть $x < -1$, то $|x + 1| = -(x + 1)$, и дробь равна $\frac{-(x + 1)}{x + 1} = -1$. Функция принимает вид $y = -1 \cdot (x^2 - 2x - 3) = -x^2 + 2x + 3$.
Разложим квадратный трехчлен на множители: $x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1)$.
Тогда $-x^2 + 2x + 3 = -(x^2 - 2x - 3) = -(x - 3)(x + 1)$.
Функция является кусочной, состоящей из двух частей парабол, с точкой разрыва при $x=-1$.
Ответ: $y = \begin{cases} -x^2 + 2x + 3, & \text{если } x < -1 \\ x^2 - 2x - 3, & \text{если } x > -1 \end{cases}$.

в) Дана функция $y = \frac{x + 2}{\sqrt{x^2 + 4x + 4}}$.
ОДЗ: выражение под корнем в знаменателе должно быть строго больше нуля. $x^2 + 4x + 4 > 0$.
Заметим, что $x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2$. Неравенство принимает вид $(x + 2)^2 > 0$. Это верно для всех $x$, кроме $x = -2$. Таким образом, ОДЗ: $x \neq -2$.
Упростим знаменатель: $\sqrt{x^2 + 4x + 4} = \sqrt{(x + 2)^2} = |x + 2|$.
Функция принимает вид: $y = \frac{x + 2}{|x + 2|}$.
Рассмотрим два случая для раскрытия модуля:
1. Если $x + 2 > 0$, то есть $x > -2$, то $|x + 2| = x + 2$. Функция равна $y = \frac{x + 2}{x + 2} = 1$.
2. Если $x + 2 < 0$, то есть $x < -2$, то $|x + 2| = -(x + 2)$. Функция равна $y = \frac{x + 2}{-(x + 2)} = -1$.
Таким образом, мы получили кусочно-постоянную функцию с точкой разрыва при $x=-2$.
Ответ: $y = \begin{cases} -1, & \text{если } x < -2 \\ 1, & \text{если } x > -2 \end{cases}$.

г) Дана функция $y = \frac{5 - x}{|x - 5|}(-x^2 + 6x - 5)$.
ОДЗ: знаменатель не может быть равен нулю, следовательно, $|x - 5| \neq 0$, то есть $x \neq 5$.
Рассмотрим дробь $\frac{5 - x}{|x - 5|}$. Заметим, что $5 - x = -(x - 5)$.
1. Если $x - 5 > 0$, то есть $x > 5$, то $|x - 5| = x - 5$. Дробь равна $\frac{-(x - 5)}{x - 5} = -1$. Функция принимает вид $y = -1 \cdot (-x^2 + 6x - 5) = x^2 - 6x + 5$.
2. Если $x - 5 < 0$, то есть $x < 5$, то $|x - 5| = -(x - 5)$. Дробь равна $\frac{-(x - 5)}{-(x - 5)} = 1$. Функция принимает вид $y = 1 \cdot (-x^2 + 6x - 5) = -x^2 + 6x - 5$.
Разложим квадратный трехчлен на множители: $-x^2 + 6x - 5 = -(x^2 - 6x + 5) = -(x-1)(x-5)$.
Тогда $x^2 - 6x + 5 = (x-1)(x-5)$.
Функция является кусочной, состоящей из двух частей парабол, с точкой разрыва при $x=5$.
Ответ: $y = \begin{cases} -x^2 + 6x - 5, & \text{если } x < 5 \\ x^2 - 6x + 5, & \text{если } x > 5 \end{cases}$.