Страница 229, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

68 Представьте функцию $y = f(x)$ в виде кусочной функции и постройте её график, если:

a) $f(x) = |x^2 - 1|$;

б) $f(x) = -|x^2 - 4|$.

а) $f(x) = |x^2 - 1|$

Представление в виде кусочной функции.
По определению модуля, $|a| = a$, если $a \ge 0$, и $|a| = -a$, если $a < 0$. Применим это определение к выражению под знаком модуля, $x^2 - 1$.
Найдем, при каких значениях $x$ выражение $x^2 - 1$ неотрицательно, а при каких — отрицательно.
1. Выражение $x^2 - 1$ неотрицательно, если $x^2 - 1 \ge 0$. Это неравенство равносильно $x^2 \ge 1$, что выполняется при $|x| \ge 1$, то есть для $x \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$. На этих промежутках $|x^2 - 1| = x^2 - 1$.
2. Выражение $x^2 - 1$ отрицательно, если $x^2 - 1 < 0$. Это неравенство равносильно $x^2 < 1$, что выполняется при $|x| < 1$, то есть для $x \in (-1, 1)$. На этом промежутке $|x^2 - 1| = -(x^2 - 1) = 1 - x^2$.
Таким образом, функция $f(x)$ может быть записана в виде следующей кусочной функции: $f(x) = \begin{cases} x^2 - 1, & \text{если } x \le -1 \text{ или } x \ge 1 \\ 1 - x^2, & \text{если } -1 < x < 1 \end{cases}$

Построение графика.
График функции $y = |g(x)|$ можно построить, выполнив следующие шаги:
1. Построить график функции $y = g(x)$. В нашем случае это парабола $y = x^2 - 1$. Это стандартная парабола $y=x^2$, смещенная на 1 единицу вниз. Ее вершина находится в точке $(0, -1)$, ветви направлены вверх. Парабола пересекает ось абсцисс ($Ox$) в точках $x=-1$ и $x=1$.
2. Часть графика, которая находится ниже оси абсцисс (где значения $y$ отрицательны), симметрично отразить относительно оси абсцисс.
3. Часть графика, которая находится выше или на оси абсцисс (где значения $y$ неотрицательны), оставить без изменений.
В нашем случае, часть параболы $y = x^2 - 1$ на интервале $(-1, 1)$ лежит ниже оси $Ox$. После отражения этой части относительно оси $Ox$, мы получаем на этом интервале график функции $y = -(x^2 - 1) = 1 - x^2$. Вершина этой части графика будет в точке $(0, 1)$.
Итоговый график будет состоять из ветвей параболы $y = x^2 - 1$ на промежутках $(-\infty, -1]$ и $[1, \infty)$, и "перевернутой" дуги параболы $y = 1 - x^2$ на промежутке $(-1, 1)$. График напоминает букву "W".

Ответ: $f(x) = \begin{cases} x^2 - 1, & \text{при } |x| \ge 1 \\ 1 - x^2, & \text{при } |x| < 1 \end{cases}$. График функции получается из параболы $y = x^2 - 1$ путем симметричного отражения относительно оси абсцисс той ее части, которая лежит ниже этой оси.

б) $f(x) = -|x^2 - 4|$

Представление в виде кусочной функции.
Сначала рассмотрим выражение под знаком модуля, $|x^2 - 4|$.
1. Выражение $x^2 - 4$ неотрицательно, если $x^2 - 4 \ge 0$. Это неравенство равносильно $x^2 \ge 4$, что выполняется при $|x| \ge 2$, то есть для $x \in (-\infty, -2] \cup [2, \infty)$. На этих промежутках $|x^2 - 4| = x^2 - 4$, и тогда $f(x) = -(x^2 - 4) = 4 - x^2$.
2. Выражение $x^2 - 4$ отрицательно, если $x^2 - 4 < 0$. Это неравенство равносильно $x^2 < 4$, что выполняется при $|x| < 2$, то есть для $x \in (-2, 2)$. На этом промежутке $|x^2 - 4| = -(x^2 - 4) = 4 - x^2$, и тогда $f(x) = - (4 - x^2) = x^2 - 4$.
Таким образом, функция $f(x)$ может быть записана в виде следующей кусочной функции: $f(x) = \begin{cases} 4 - x^2, & \text{если } |x| \ge 2 \\ x^2 - 4, & \text{если } |x| < 2 \end{cases}$

Построение графика.
График функции $y = -|g(x)|$ можно построить из графика $y=g(x)$, в данном случае из параболы $y = x^2 - 4$.
Парабола $y = x^2 - 4$ является стандартной параболой $y=x^2$, смещенной на 4 единицы вниз. Ее вершина находится в точке $(0, -4)$, ветви направлены вверх. Парабола пересекает ось абсцисс в точках $x=-2$ и $x=2$.
Для построения графика $y = -|x^2 - 4|$ можно рассуждать так: - Там, где $x^2 - 4 \ge 0$ (т.е. при $|x| \ge 2$), график $y=x^2-4$ находится на или выше оси $Ox$. В этом случае $y = -|x^2-4| = -(x^2-4) = 4-x^2$. То есть, эта часть графика отражается относительно оси $Ox$. - Там, где $x^2 - 4 < 0$ (т.е. при $|x| < 2$), график $y=x^2-4$ находится ниже оси $Ox$. В этом случае $y = -|x^2-4| = -(-(x^2-4)) = x^2-4$. То есть, эта часть графика остается на своем месте.
Итоговый график состоит из двух частей: - На интервале $(-2, 2)$ это дуга параболы $y = x^2 - 4$ с вершиной в $(0, -4)$. - На промежутках $(-\infty, -2]$ и $[2, \infty)$ это ветви параболы $y = 4 - x^2$ (ветви направлены вниз, точки пересечения с осью $Ox$ — $x=\pm2$).
График полностью лежит ниже или на оси абсцисс и напоминает букву "M".

Ответ: $f(x) = \begin{cases} x^2 - 4, & \text{при } |x| < 2 \\ 4 - x^2, & \text{при } |x| \ge 2 \end{cases}$. График функции $y = -|x^2 - 4|$ получается из графика параболы $y = x^2 - 4$ следующим образом: часть параболы, расположенная ниже оси абсцисс, остается без изменений, а часть, расположенная на или выше оси абсцисс, симметрично отражается относительно этой оси.

Постройте график функции:

69 a) $y = (x + 4)^{-1}$;

б) $y = \left(\frac{1}{\sqrt{(x - 3)^2}}\right)^{-1}$;

в) $y = (\sqrt{x + 2})^{-2}$;

г) $y = \left(\frac{1}{\sqrt{x^2 + 4x + 4}}\right)^{-1}$.

а) $y = (x + 4)^{-1}$

Преобразуем данную функцию. Отрицательная степень означает, что мы должны взять обратную величину от основания:

$y = (x + 4)^{-1} = \frac{1}{x+4}$

Это функция обратной пропорциональности, её график — гипербола.

График функции $y = \frac{1}{x+4}$ получается из графика базовой функции $y = \frac{1}{x}$ путём сдвига вдоль оси абсцисс (Ox) на 4 единицы влево.

Основные свойства функции $y = \frac{1}{x+4}$:

• Область определения (ОДЗ): знаменатель не должен быть равен нулю, т.е. $x + 4 \neq 0$, откуда $x \neq -4$. $D(y) = (-\infty; -4) \cup (-4; +\infty)$.

• Асимптоты: вертикальная асимптота $x = -4$, горизонтальная асимптота $y = 0$.

• График представляет собой гиперболу, ветви которой расположены в квадрантах, аналогичных I и III, относительно смещенных осей координат с центром в точке $(-4, 0)$.

Ответ: График функции $y = (x + 4)^{-1}$ — это гипербола, полученная сдвигом графика функции $y = \frac{1}{x}$ на 4 единицы влево вдоль оси Ox. Вертикальная асимптота: $x = -4$, горизонтальная асимптота: $y = 0$.

б) $y = \left(\frac{1}{\sqrt{(x-3)^2}}\right)^{-1}$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем $(x-3)^2$ всегда неотрицательно. Однако, знаменатель дроби $\sqrt{(x-3)^2}$ не может быть равен нулю.

$\sqrt{(x-3)^2} \neq 0 \implies (x-3)^2 \neq 0 \implies x-3 \neq 0 \implies x \neq 3$.

Теперь упростим выражение для функции:

Используем свойство $\sqrt{a^2} = |a|$, поэтому $\sqrt{(x-3)^2} = |x-3|$.

Функция принимает вид: $y = \left(\frac{1}{|x-3|}\right)^{-1}$.

Используем свойство $a^{-1} = \frac{1}{a}$: $y = |x-3|$.

Таким образом, нам нужно построить график функции $y = |x-3|$ с учётом ОДЗ: $x \neq 3$.

График функции $y = |x-3|$ — это график модуля, который получается из графика $y = |x|$ сдвигом на 3 единицы вправо вдоль оси Ox. Вершина графика находится в точке $(3, 0)$.

Поскольку $x \neq 3$, точка $(3, 0)$ не принадлежит графику. Эта точка является вершиной "галочки" $y=|x-3|$, поэтому она должна быть выколота.

Ответ: График функции представляет собой график $y = |x-3|$ (две прямые, $y = x-3$ при $x > 3$ и $y = -(x-3)$ при $x < 3$) с выколотой точкой в вершине $(3, 0)$.

в) $y = (\sqrt{x} + 2)^{-2}$

Преобразуем данную функцию:

$y = \frac{1}{(\sqrt{x} + 2)^2}$

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под квадратным корнем должно быть неотрицательным: $x \ge 0$.

Знаменатель $(\sqrt{x} + 2)^2$ не должен быть равен нулю. Так как $\sqrt{x} \ge 0$, то $\sqrt{x} + 2 \ge 2$, и $(\sqrt{x} + 2)^2 \ge 4$. Знаменатель никогда не равен нулю.

Таким образом, ОДЗ: $x \ge 0$.

Исследуем поведение функции:

• При $x=0$, $y = \frac{1}{(\sqrt{0}+2)^2} = \frac{1}{4}$. Это начальная точка графика $(0, \frac{1}{4})$.

• Функция всегда положительна, так как знаменатель — это квадрат. $y > 0$.

• С ростом $x$, знаменатель $(\sqrt{x} + 2)^2$ возрастает, следовательно, значение функции $y$ убывает.

• При $x \to +\infty$, знаменатель стремится к бесконечности, а $y \to 0$. Это означает, что ось Ox ($y=0$) является горизонтальной асимптотой.

Область значений функции: $E(y) = (0; \frac{1}{4}]$.

Ответ: График функции — это кривая, расположенная в первом квадранте. Она начинается в точке $(0, \frac{1}{4})$, монотонно убывает и асимптотически приближается к оси Ox при $x \to +\infty$.

г) $y = \left(\frac{1}{\sqrt{x^2 + 4x + 4}}\right)^{-1}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем в знаменателе не может быть равным нулю.

$\sqrt{x^2 + 4x + 4} \neq 0$.

Выражение под корнем является полным квадратом: $x^2 + 4x + 4 = (x+2)^2$.

$\sqrt{(x+2)^2} \neq 0 \implies |x+2| \neq 0 \implies x+2 \neq 0 \implies x \neq -2$.

Теперь упростим выражение для функции:

$y = \left(\frac{1}{\sqrt{(x+2)^2}}\right)^{-1} = \left(\frac{1}{|x+2|}\right)^{-1} = |x+2|$.

Мы должны построить график функции $y = |x+2|$ при условии, что $x \neq -2$.

График функции $y = |x+2|$ получается из графика $y = |x|$ сдвигом на 2 единицы влево вдоль оси Ox. Это "галочка" с вершиной в точке $(-2, 0)$.

Так как $x \neq -2$, то точка $(-2, 0)$, которая является вершиной, должна быть исключена из графика (выколота).

Ответ: График функции — это график $y = |x+2|$, состоящий из двух лучей, исходящих из точки $(-2, 0)$, при этом сама точка $(-2, 0)$ выколота.

70 a) $y = - \frac{\sqrt{x^2 - 2x + 1}}{x - 1}$;

б) $y = \frac{|x+1|}{x+1}(x^2 - 2x - 3)$;

в) $y = \frac{x+2}{\sqrt{x^2 + 4x + 4}}$;

г) $y = \frac{5-x}{|x-5|}(-x^2 + 6x - 5)$.

а) Дана функция $y = -\frac{\sqrt{x^2 - 2x + 1}}{x - 1}$.
Область определения функции (ОДЗ): знаменатель не может быть равен нулю, следовательно, $x - 1 \neq 0$, то есть $x \neq 1$.
Упростим выражение в числителе. Заметим, что подкоренное выражение является полным квадратом: $x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$.
Тогда $\sqrt{x^2 - 2x + 1} = \sqrt{(x - 1)^2} = |x - 1|$.
Функция принимает вид: $y = -\frac{|x - 1|}{x - 1}$.
Теперь рассмотрим два случая для раскрытия модуля:
1. Если $x - 1 > 0$, то есть $x > 1$, то $|x - 1| = x - 1$. В этом случае функция равна $y = -\frac{x - 1}{x - 1} = -1$.
2. Если $x - 1 < 0$, то есть $x < 1$, то $|x - 1| = -(x - 1)$. В этом случае функция равна $y = -\frac{-(x - 1)}{x - 1} = -(-1) = 1$.
Таким образом, мы получили кусочно-постоянную функцию с точкой разрыва при $x=1$.
Ответ: $y = \begin{cases} 1, & \text{если } x < 1 \\ -1, & \text{если } x > 1 \end{cases}$.

б) Дана функция $y = \frac{|x + 1|}{x + 1}(x^2 - 2x - 3)$.
ОДЗ: знаменатель не может быть равен нулю, следовательно, $x + 1 \neq 0$, то есть $x \neq -1$.
Рассмотрим дробь $\frac{|x + 1|}{x + 1}$:
1. Если $x + 1 > 0$, то есть $x > -1$, то $|x + 1| = x + 1$, и дробь равна $\frac{x + 1}{x + 1} = 1$. Функция принимает вид $y = 1 \cdot (x^2 - 2x - 3) = x^2 - 2x - 3$.
2. Если $x + 1 < 0$, то есть $x < -1$, то $|x + 1| = -(x + 1)$, и дробь равна $\frac{-(x + 1)}{x + 1} = -1$. Функция принимает вид $y = -1 \cdot (x^2 - 2x - 3) = -x^2 + 2x + 3$.
Разложим квадратный трехчлен на множители: $x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1)$.
Тогда $-x^2 + 2x + 3 = -(x^2 - 2x - 3) = -(x - 3)(x + 1)$.
Функция является кусочной, состоящей из двух частей парабол, с точкой разрыва при $x=-1$.
Ответ: $y = \begin{cases} -x^2 + 2x + 3, & \text{если } x < -1 \\ x^2 - 2x - 3, & \text{если } x > -1 \end{cases}$.

в) Дана функция $y = \frac{x + 2}{\sqrt{x^2 + 4x + 4}}$.
ОДЗ: выражение под корнем в знаменателе должно быть строго больше нуля. $x^2 + 4x + 4 > 0$.
Заметим, что $x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2$. Неравенство принимает вид $(x + 2)^2 > 0$. Это верно для всех $x$, кроме $x = -2$. Таким образом, ОДЗ: $x \neq -2$.
Упростим знаменатель: $\sqrt{x^2 + 4x + 4} = \sqrt{(x + 2)^2} = |x + 2|$.
Функция принимает вид: $y = \frac{x + 2}{|x + 2|}$.
Рассмотрим два случая для раскрытия модуля:
1. Если $x + 2 > 0$, то есть $x > -2$, то $|x + 2| = x + 2$. Функция равна $y = \frac{x + 2}{x + 2} = 1$.
2. Если $x + 2 < 0$, то есть $x < -2$, то $|x + 2| = -(x + 2)$. Функция равна $y = \frac{x + 2}{-(x + 2)} = -1$.
Таким образом, мы получили кусочно-постоянную функцию с точкой разрыва при $x=-2$.
Ответ: $y = \begin{cases} -1, & \text{если } x < -2 \\ 1, & \text{если } x > -2 \end{cases}$.

г) Дана функция $y = \frac{5 - x}{|x - 5|}(-x^2 + 6x - 5)$.
ОДЗ: знаменатель не может быть равен нулю, следовательно, $|x - 5| \neq 0$, то есть $x \neq 5$.
Рассмотрим дробь $\frac{5 - x}{|x - 5|}$. Заметим, что $5 - x = -(x - 5)$.
1. Если $x - 5 > 0$, то есть $x > 5$, то $|x - 5| = x - 5$. Дробь равна $\frac{-(x - 5)}{x - 5} = -1$. Функция принимает вид $y = -1 \cdot (-x^2 + 6x - 5) = x^2 - 6x + 5$.
2. Если $x - 5 < 0$, то есть $x < 5$, то $|x - 5| = -(x - 5)$. Дробь равна $\frac{-(x - 5)}{-(x - 5)} = 1$. Функция принимает вид $y = 1 \cdot (-x^2 + 6x - 5) = -x^2 + 6x - 5$.
Разложим квадратный трехчлен на множители: $-x^2 + 6x - 5 = -(x^2 - 6x + 5) = -(x-1)(x-5)$.
Тогда $x^2 - 6x + 5 = (x-1)(x-5)$.
Функция является кусочной, состоящей из двух частей парабол, с точкой разрыва при $x=5$.
Ответ: $y = \begin{cases} -x^2 + 6x - 5, & \text{если } x < 5 \\ x^2 - 6x + 5, & \text{если } x > 5 \end{cases}$.

71 а) $y = \frac{4}{|x|}$;

б) $y = \frac{3}{|x + 1|}$;

в) $y = \frac{12}{|x|} - 3$;

г) $y = - \frac{2}{|x|}$.

а) $y = \frac{4}{|x|}$

Данная функция является вариацией обратной пропорциональности $y = \frac{k}{x}$. Особенностью является наличие модуля в знаменателе.

1. Построение графика.
График функции $y = f(|x|)$ можно построить из графика функции $y = f(x)$ следующим образом:
- Строим график функции $y = f(x)$ для $x \ge 0$.
- Отражаем полученную часть графика симметрично относительно оси Oy.
В нашем случае, $f(x) = \frac{4}{x}$.
- Для $x > 0$, имеем $|x| = x$, и функция принимает вид $y = \frac{4}{x}$. Это ветвь гиперболы, расположенная в первой координатной четверти.
- Для $x < 0$, имеем $|x| = -x$, и функция принимает вид $y = \frac{4}{-x} = -\frac{4}{x}$. Это ветвь гиперболы, расположенная во второй координатной четверти.
Таким образом, график состоит из двух ветвей, симметричных относительно оси Oy и расположенных в первой и второй четвертях.

2. Свойства функции.
- Область определения: Знаменатель не может быть равен нулю, т.е. $|x| \neq 0$, откуда $x \neq 0$.
$D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
- Область значений: Так как числитель $4 > 0$ и знаменатель $|x| > 0$ для всех $x$ из области определения, то $y$ всегда будет принимать только положительные значения.
$E(y) = (0; +\infty)$.
- Четность: Функция является четной, так как $y(-x) = \frac{4}{|-x|} = \frac{4}{|x|} = y(x)$. График симметричен относительно оси Oy.
- Асимптоты:
- Вертикальная асимптота: $x = 0$ (ось Oy).
- Горизонтальная асимптота: $y = 0$ (ось Ox), так как при $x \to \pm\infty$, $y \to 0$.
- Монотонность:
- Функция возрастает на промежутке $(-\infty; 0)$.
- Функция убывает на промежутке $(0; +\infty)$.

Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Область значений $E(y) = (0; +\infty)$. Функция четная. Асимптоты: $x=0$ и $y=0$. Возрастает на $(-\infty; 0)$, убывает на $(0; +\infty)$.

б) $y = \frac{3}{|x + 1|}$

График этой функции можно получить путем преобразования графика базовой функции $y = \frac{3}{|x|}$.

1. Построение графика.
- Сначала рассмотрим график функции $y = \frac{3}{|x|}$. Он аналогичен графику из пункта а), это две ветви гиперболы в I и II четвертях с асимптотами $x=0$ и $y=0$.
- Преобразование $f(x) \to f(x+a)$ соответствует сдвигу графика вдоль оси Ox на $a$ единиц влево. В нашем случае $a=1$, поэтому мы сдвигаем график функции $y = \frac{3}{|x|}$ на 1 единицу влево.
- В результате сдвига, вертикальная асимптота $x=0$ смещается в $x=-1$. Горизонтальная асимптота $y=0$ остается на месте.

2. Свойства функции.
- Область определения: $|x + 1| \neq 0$, откуда $x + 1 \neq 0$, то есть $x \neq -1$.
$D(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.
- Область значений: Аналогично пункту а), дробь всегда положительна.
$E(y) = (0; +\infty)$.
- Четность: Функция не является ни четной, ни нечетной (общего вида), так как $y(-x) = \frac{3}{|-x+1|} = \frac{3}{|x-1|} \neq \pm y(x)$. Однако ее график симметричен относительно прямой $x = -1$.
- Асимптоты:
- Вертикальная асимптота: $x = -1$.
- Горизонтальная асимптота: $y = 0$.
- Монотонность:
- Функция возрастает на промежутке $(-\infty; -1)$.
- Функция убывает на промежутке $(-1; +\infty)$.

Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$. Область значений $E(y) = (0; +\infty)$. Функция общего вида. Асимптоты: $x=-1$ и $y=0$. Возрастает на $(-\infty; -1)$, убывает на $(-1; +\infty)$.

в) $y = \frac{12}{|x|} - 3$

График этой функции можно получить путем преобразования графика функции $y = \frac{12}{|x|}$.

1. Построение графика.
- Базовый график $y = \frac{12}{|x|}$ аналогичен графику из пункта а).
- Преобразование $f(x) \to f(x) - c$ соответствует сдвигу графика вдоль оси Oy на $c$ единиц вниз. В нашем случае $c=3$, поэтому мы сдвигаем график функции $y = \frac{12}{|x|}$ на 3 единицы вниз.
- Вертикальная асимптота $x=0$ не изменяется. Горизонтальная асимптота $y=0$ смещается на 3 единицы вниз и становится $y=-3$.

2. Свойства функции.
- Область определения: $|x| \neq 0$, откуда $x \neq 0$.
$D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
- Область значений: Выражение $\frac{12}{|x|}$ принимает значения в интервале $(0; +\infty)$. Тогда вся функция $y = \frac{12}{|x|} - 3$ принимает значения в интервале $(0-3; +\infty-3)$.
$E(y) = (-3; +\infty)$.
- Четность: Функция является четной, так как $y(-x) = \frac{12}{|-x|} - 3 = \frac{12}{|x|} - 3 = y(x)$. График симметричен относительно оси Oy.
- Асимптоты:
- Вертикальная асимптота: $x = 0$.
- Горизонтальная асимптота: $y = -3$.
- Монотонность: Сдвиг вниз не меняет характер монотонности.
- Функция возрастает на промежутке $(-\infty; 0)$.
- Функция убывает на промежутке $(0; +\infty)$.
- Нули функции (пересечение с осью Ox): $y=0 \implies \frac{12}{|x|} - 3 = 0 \implies \frac{12}{|x|} = 3 \implies |x| = 4 \implies x = \pm 4$.

Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Область значений $E(y) = (-3; +\infty)$. Функция четная. Асимптоты: $x=0$ и $y=-3$. Возрастает на $(-\infty; 0)$, убывает на $(0; +\infty)$. Нули функции: $x=\pm 4$.

г) $y = -\frac{2}{|x|}$

График этой функции можно получить путем преобразования графика функции $y = \frac{2}{|x|}$.

1. Построение графика.
- Базовый график $y = \frac{2}{|x|}$ имеет две ветви в I и II четвертях.
- Преобразование $f(x) \to -f(x)$ соответствует симметричному отражению графика относительно оси Ox.
- Таким образом, ветви графика $y = \frac{2}{|x|}$ из верхней полуплоскости отразятся в нижнюю. График функции $y = -\frac{2}{|x|}$ будет состоять из двух ветвей, расположенных в III и IV координатных четвертях.

2. Свойства функции.
- Область определения: $|x| \neq 0$, откуда $x \neq 0$.
$D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
- Область значений: Выражение $\frac{2}{|x|}$ всегда положительно, значит $-\frac{2}{|x|}$ всегда отрицательно.
$E(y) = (-\infty; 0)$.
- Четность: Функция является четной, так как $y(-x) = -\frac{2}{|-x|} = -\frac{2}{|x|} = y(x)$. График симметричен относительно оси Oy.
- Асимптоты:
- Вертикальная асимптота: $x = 0$.
- Горизонтальная асимптота: $y = 0$.
- Монотонность: Отражение относительно оси Ox меняет характер монотонности на противоположный.
- Функция убывает на промежутке $(-\infty; 0)$.
- Функция возрастает на промежутке $(0; +\infty)$.

Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Область значений $E(y) = (-\infty; 0)$. Функция четная. Асимптоты: $x=0$ и $y=0$. Убывает на $(-\infty; 0)$, возрастает на $(0; +\infty)$.

72 a) $y = 2x|x| + 2;$

б) $y = -2x^2 - \frac{x^2}{|x|};$

в) $y = -x|x| + 2x^2;$

г) $y = \frac{|x|}{x^2} + 1.$

а) Для того чтобы решить данное уравнение, необходимо раскрыть модуль $|x|$. Модуль числа определяется следующим образом:

$|x| = \begin{cases} x, & \text{если } x \ge 0 \\ -x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Рассмотрим два случая.

1. Если $x \ge 0$, то $|x| = x$. Подставим это в исходное уравнение:

$y = 2x(x) + 2 = 2x^2 + 2$

На промежутке $[0, +\infty)$ графиком функции является часть параболы $y = 2x^2 + 2$, ветви которой направлены вверх, с вершиной в точке $(0, 2)$.

2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Подставим это в исходное уравнение:

$y = 2x(-x) + 2 = -2x^2 + 2$

На промежутке $(-\infty, 0)$ графиком функции является часть параболы $y = -2x^2 + 2$, ветви которой направлены вниз, с вершиной в точке $(0, 2)$.

Таким образом, функцию можно представить в виде кусочно-заданной функции:

$y = \begin{cases} 2x^2 + 2, & \text{при } x \ge 0 \\ -2x^2 + 2, & \text{при } x < 0 \end{cases}$

Ответ: $y = \begin{cases} 2x^2 + 2, & \text{при } x \ge 0 \\ -2x^2 + 2, & \text{при } x < 0 \end{cases}$

б) Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $|x| \ne 0$, что означает $x \ne 0$.

Упростим выражение $\frac{x^2}{|x|}$. Так как $x^2 = |x|^2$, то при $x \ne 0$:

$\frac{x^2}{|x|} = \frac{|x|^2}{|x|} = |x|$

Тогда исходная функция принимает вид:

$y = -2x^2 - |x|$

Теперь раскроем модуль $|x|$ для двух случаев.

1. Если $x > 0$, то $|x| = x$. Функция принимает вид:

$y = -2x^2 - x$

2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Функция принимает вид:

$y = -2x^2 - (-x) = -2x^2 + x$

Итак, функция является кусочно-заданной:

$y = \begin{cases} -2x^2 - x, & \text{при } x > 0 \\ -2x^2 + x, & \text{при } x < 0 \end{cases}$

Ответ: $y = \begin{cases} -2x^2 - x, & \text{при } x > 0 \\ -2x^2 + x, & \text{при } x < 0 \end{cases}$

в) Раскроем модуль $|x|$, рассмотрев два случая.

1. Если $x \ge 0$, то $|x| = x$. Подставляем в уравнение:

$y = -x(x) + 2x^2 = -x^2 + 2x^2 = x^2$

На промежутке $[0, +\infty)$ функция совпадает с параболой $y = x^2$.

2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Подставляем в уравнение:

$y = -x(-x) + 2x^2 = x^2 + 2x^2 = 3x^2$

На промежутке $(-\infty, 0)$ функция совпадает с параболой $y = 3x^2$.

Таким образом, получаем кусочно-заданную функцию:

$y = \begin{cases} x^2, & \text{при } x \ge 0 \\ 3x^2, & \text{при } x < 0 \end{cases}$

Ответ: $y = \begin{cases} x^2, & \text{при } x \ge 0 \\ 3x^2, & \text{при } x < 0 \end{cases}$

г) Область допустимых значений (ОДЗ) для данной функции определяется условием $x^2 \ne 0$, то есть $x \ne 0$.

Раскроем модуль $|x|$, рассмотрев два случая.

1. Если $x > 0$, то $|x| = x$. Функция принимает вид:

$y = \frac{x}{x^2} + 1 = \frac{1}{x} + 1$

2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Функция принимает вид:

$y = \frac{-x}{x^2} + 1 = -\frac{1}{x} + 1$

Функцию можно представить в виде:

$y = \begin{cases} \frac{1}{x} + 1, & \text{при } x > 0 \\ -\frac{1}{x} + 1, & \text{при } x < 0 \end{cases}$

Ответ: $y = \begin{cases} \frac{1}{x} + 1, & \text{при } x > 0 \\ -\frac{1}{x} + 1, & \text{при } x < 0 \end{cases}$

73. Решите графически уравнение:

а) $ \frac{8}{x+2} + 0,5x^2 - 4x^0 = 0; $

б) $ 2x-4 + \frac{x^2-4}{(x-2)^0} = 0. $

а) $ \frac{8}{x+2} + 0.5x^2 - 4x^0 = 0 $

Для решения уравнения графическим методом, сначала упростим его и определим область допустимых значений (ОДЗ).

Выражение в знаменателе не должно быть равно нулю: $x+2 \neq 0 \implies x \neq -2$.

Выражение $x^0$ определено и равно 1 для всех $x \neq 0$. Таким образом, ОДЗ исходного уравнения: $x \in (-\infty; -2) \cup (-2; 0) \cup (0; +\infty)$.

С учетом $x^0=1$, уравнение принимает вид:

$ \frac{8}{x+2} + 0.5x^2 - 4 = 0 $

Преобразуем уравнение так, чтобы в левой и правой частях стояли функции, графики которых мы можем построить:

$ \frac{8}{x+2} = 4 - 0.5x^2 $

Построим в одной системе координат графики двух функций:

1. $ y_1 = \frac{8}{x+2} $
2. $ y_2 = 4 - 0.5x^2 $

График функции $y_1 = \frac{8}{x+2}$ — это гипербола, полученная сдвигом графика $y = \frac{8}{x}$ на 2 единицы влево. Асимптоты гиперболы: вертикальная $x=-2$ и горизонтальная $y=0$.

Составим таблицу значений для $y_1$:

График функции $y_2 = 4 - 0.5x^2$ — это парабола, ветви которой направлены вниз. Вершина параболы находится в точке $(0, 4)$.

Составим таблицу значений для $y_2$:

Построив графики (или сравнив таблицы значений), мы находим точки их пересечения. Абсциссы этих точек и являются решениями уравнения. Точки пересечения: $(-4, -4)$, $(0, 4)$ и $(2, 2)$.

Следовательно, получаем корни: $x_1 = -4$, $x_2 = 0$, $x_3 = 2$.

Теперь необходимо проверить эти корни на соответствие ОДЗ ($x \neq -2$ и $x \neq 0$).

Корень $x = 0$ не входит в ОДЗ, поэтому он является посторонним. Корни $x = -4$ и $x = 2$ удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x = -4; x = 2$.

б) $ 2x - 4 + \frac{x^2 - 4}{(x-2)^0} = 0 $

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение $(x-2)^0$ определено и равно 1, если его основание не равно нулю:

$ x - 2 \neq 0 \implies x \neq 2 $.

При $x \neq 2$ уравнение упрощается:

$ 2x - 4 + \frac{x^2 - 4}{1} = 0 $

$ 2x - 4 + x^2 - 4 = 0 $

$ x^2 + 2x - 8 = 0 $

Для графического решения этого квадратного уравнения построим график функции $y = x^2 + 2x - 8$ и найдем точки его пересечения с осью абсцисс (осью Ox).

График этой функции — парабола, ветви которой направлены вверх.

Найдем координаты вершины параболы:

$ x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1 $

$ y_в = (-1)^2 + 2(-1) - 8 = 1 - 2 - 8 = -9 $

Вершина находится в точке $(-1, -9)$.

Найдем точки пересечения с осью Ox, решив уравнение $x^2 + 2x - 8 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна -2, а произведение равно -8. Корни: $x_1 = -4$ и $x_2 = 2$.

Таким образом, парабола пересекает ось абсцисс в точках с координатами $x=-4$ и $x=2$.

Теперь учтем ОДЗ ($x \neq 2$). Корень $x=2$ не входит в область допустимых значений, следовательно, он является посторонним корнем.

Единственным решением уравнения является $x=-4$.

Ответ: $x = -4$.

74. Решите уравнение:

а) $x^2 + 6x = 0;$

б) $-3x^2 = 18x;$

в) $-x^2 - 12x = 0;$

г) $4x^2 = 28x.$

а) $x^2 + 6x = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Для его решения вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x + 6) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, мы имеем два случая:

$x = 0$

или

$x + 6 = 0$

Решая второе уравнение, получаем:

$x = -6$

Таким образом, уравнение имеет два корня.

Ответ: $x_1 = 0, x_2 = -6$.

б) $-3x^2 = 18x$

Сначала перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить уравнение в стандартном виде:

$-3x^2 - 18x = 0$

Для удобства можно умножить обе части уравнения на $-1$:

$3x^2 + 18x = 0$

Теперь вынесем общий множитель $3x$ за скобки:

$3x(x + 6) = 0$

Приравняем каждый из множителей к нулю:

$3x = 0$

или

$x + 6 = 0$

Из первого уравнения находим $x = 0$.

Из второго уравнения находим $x = -6$.

Ответ: $x_1 = 0, x_2 = -6$.

в) $-x^2 - 12x = 0$

Умножим обе части уравнения на $-1$, чтобы сделать коэффициент при $x^2$ положительным:

$x^2 + 12x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x + 12) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

$x = 0$

или

$x + 12 = 0$

Решая второе уравнение, получаем:

$x = -12$

Ответ: $x_1 = 0, x_2 = -12$.

г) $4x^2 = 28x$

Перенесем все члены в левую часть уравнения:

$4x^2 - 28x = 0$

Вынесем общий множитель $4x$ за скобки. Обратите внимание, что $28$ делится на $4$.

$4x(x - 7) = 0$

Приравняем каждый из множителей к нулю:

$4x = 0$

или

$x - 7 = 0$

Из первого уравнения получаем $x = 0$.

Из второго уравнения получаем $x = 7$.

Ответ: $x_1 = 0, x_2 = 7$.

75 a) $3x^2 - 27 = 0;$

б) $18 - 6x^2 = 0;$

в) $24 - 6x^2 = 0;$

г) $5x^2 - 30 = 0.$

a) $3x^2 - 27 = 0$
Это неполное квадратное уравнение вида $ax^2 + c = 0$. Для его решения необходимо изолировать $x^2$.
Перенесем свободный член (-27) в правую часть уравнения, изменив его знак:
$3x^2 = 27$
Теперь разделим обе части уравнения на коэффициент при $x^2$, то есть на 3:
$x^2 = \frac{27}{3}$
$x^2 = 9$
Чтобы найти $x$, извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Уравнение имеет два корня: положительный и отрицательный.
$x = \pm\sqrt{9}$
$x_1 = 3$, $x_2 = -3$
Ответ: -3; 3.

б) $18 - 6x^2 = 0$
Это также неполное квадратное уравнение. Перенесем свободный член (18) в правую часть уравнения:
$-6x^2 = -18$
Разделим обе части уравнения на -6:
$x^2 = \frac{-18}{-6}$
$x^2 = 3$
Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:
$x = \pm\sqrt{3}$
$x_1 = \sqrt{3}$, $x_2 = -\sqrt{3}$
Ответ: $-\sqrt{3}$; $\sqrt{3}$.

в) $24 - 6x^2 = 0$
Это неполное квадратное уравнение. Перенесем член с $x^2$ в правую часть, чтобы работать с положительным коэффициентом:
$24 = 6x^2$
Разделим обе части уравнения на 6:
$x^2 = \frac{24}{6}$
$x^2 = 4$
Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:
$x = \pm\sqrt{4}$
$x_1 = 2$, $x_2 = -2$
Ответ: -2; 2.

г) $5x^2 - 30 = 0$
Это неполное квадратное уравнение. Перенесем свободный член (-30) в правую часть:
$5x^2 = 30$
Разделим обе части уравнения на 5:
$x^2 = \frac{30}{5}$
$x^2 = 6$
Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:
$x = \pm\sqrt{6}$
$x_1 = \sqrt{6}$, $x_2 = -\sqrt{6}$
Ответ: $-\sqrt{6}$; $\sqrt{6}$.

76 a) $-5x^2 = 0$;

б) $32 + 8x^2 = 0$;

в) $(3x + 4)^2 = 0$;

г) $-4x^2 = 40$.

а) Дано уравнение $-5x^2 = 0$.
Это неполное квадратное уравнение. Чтобы найти значение $x$, разделим обе части уравнения на коэффициент при $x^2$, то есть на $-5$:
$\frac{-5x^2}{-5} = \frac{0}{-5}$
$x^2 = 0$
Единственное число, квадрат которого равен нулю, — это ноль. Следовательно, извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем:
$x = 0$
Ответ: $x=0$.

б) Дано уравнение $32 + 8x^2 = 0$.
Это неполное квадратное уравнение. Для его решения сначала изолируем член с $x^2$. Перенесем 32 в правую часть уравнения, изменив знак на противоположный:
$8x^2 = -32$
Теперь разделим обе части уравнения на 8:
$x^2 = \frac{-32}{8}$
$x^2 = -4$
Полученное уравнение не имеет решений в множестве действительных чисел, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным ($x^2 \ge 0$), а в правой части уравнения стоит отрицательное число ($-4$).
Ответ: корней нет.

в) Дано уравнение $(3x + 4)^2 = 0$.
Квадрат выражения равен нулю тогда и только тогда, когда само выражение равно нулю. Поэтому приравняем выражение в скобках к нулю:
$3x + 4 = 0$
Мы получили линейное уравнение. Для его решения перенесем 4 в правую часть уравнения с противоположным знаком:
$3x = -4$
Теперь, чтобы найти $x$, разделим обе части на 3:
$x = -\frac{4}{3}$
Этот ответ можно также записать в виде смешанной дроби $x = -1\frac{1}{3}$.
Ответ: $x = -\frac{4}{3}$.

г) Дано уравнение $-4x^2 = 40$.
Это неполное квадратное уравнение. Чтобы найти $x^2$, разделим обе части уравнения на коэффициент при $x^2$, то есть на $-4$:
$x^2 = \frac{40}{-4}$
$x^2 = -10$
Как и в пункте б), мы получили уравнение, в котором квадрат переменной равен отрицательному числу. В множестве действительных чисел такое уравнение не имеет решений, потому что квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен ($x^2 \ge 0$).
Ответ: корней нет.

77 a) $6x^2 - 13x - 15 = 0;$

б) $-5x^2 - 27x + 56 = 0;$

в) $9x^2 + 40x + 16 = 0;$

г) $-3x^2 + 16x + 75 = 0.$

а) Дано квадратное уравнение $6x^2 - 13x - 15 = 0$.
Для решения используем формулу корней квадратного уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$, где дискриминант $D = b^2 - 4ac$.
В данном уравнении коэффициенты равны: $a = 6$, $b = -13$, $c = -15$.
Вычислим дискриминант:
$D = (-13)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-15) = 169 + 360 = 529$.
Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{529} = 23$.
Теперь найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-(-13) + 23}{2 \cdot 6} = \frac{13 + 23}{12} = \frac{36}{12} = 3$.
$x_2 = \frac{-(-13) - 23}{2 \cdot 6} = \frac{13 - 23}{12} = \frac{-10}{12} = -\frac{5}{6}$.
Ответ: $x_1 = 3, x_2 = -\frac{5}{6}$.

б) Дано квадратное уравнение $-5x^2 - 27x + 56 = 0$.
Для удобства умножим обе части уравнения на $-1$, чтобы коэффициент при $x^2$ стал положительным: $5x^2 + 27x - 56 = 0$.
Коэффициенты уравнения: $a = 5$, $b = 27$, $c = -56$.
Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = 27^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-56) = 729 + 1120 = 1849$.
Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{1849} = 43$.
Найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-27 + 43}{2 \cdot 5} = \frac{16}{10} = \frac{8}{5}$.
$x_2 = \frac{-27 - 43}{2 \cdot 5} = \frac{-70}{10} = -7$.
Ответ: $x_1 = \frac{8}{5}, x_2 = -7$.

в) Дано квадратное уравнение $9x^2 + 40x + 16 = 0$.
Коэффициенты уравнения: $a = 9$, $b = 40$, $c = 16$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac$.
$D = 40^2 - 4 \cdot 9 \cdot 16 = 1600 - 576 = 1024$.
Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{1024} = 32$.
Найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-40 + 32}{2 \cdot 9} = \frac{-8}{18} = -\frac{4}{9}$.
$x_2 = \frac{-40 - 32}{2 \cdot 9} = \frac{-72}{18} = -4$.
Ответ: $x_1 = -4, x_2 = -\frac{4}{9}$.

г) Дано квадратное уравнение $-3x^2 + 16x + 75 = 0$.
Умножим обе части уравнения на $-1$: $3x^2 - 16x - 75 = 0$.
Коэффициенты уравнения: $a = 3$, $b = -16$, $c = -75$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac$.
$D = (-16)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-75) = 256 + 900 = 1156$.
Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{1156} = 34$.
Найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-(-16) + 34}{2 \cdot 3} = \frac{16 + 34}{6} = \frac{50}{6} = \frac{25}{3}$.
$x_2 = \frac{-(-16) - 34}{2 \cdot 3} = \frac{16 - 34}{6} = \frac{-18}{6} = -3$.
Ответ: $x_1 = \frac{25}{3}, x_2 = -3$.

78 а) $-x^2 + 4x - 1 = 0;$

б) $4x^2 - 10x + 5 = 0;$

в) $x^2 + 6x + 2 = 0;$

г) $-5x^2 - 6x + 1 = 0.$

а)

Для решения квадратного уравнения $-x^2 + 4x - 1 = 0$ умножим все его члены на $-1$, чтобы коэффициент при $x^2$ стал положительным:

$x^2 - 4x + 1 = 0$

Это уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a = 1$, $b = -4$, $c = 1$.

Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 16 - 4 = 12$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$\sqrt{D} = \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$

$x_1 = \frac{-(-4) + 2\sqrt{3}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{2} = 2 + \sqrt{3}$

$x_2 = \frac{-(-4) - 2\sqrt{3}}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{2} = 2 - \sqrt{3}$

Ответ: $2 - \sqrt{3}; 2 + \sqrt{3}$.

б)

Решим квадратное уравнение $4x^2 - 10x + 5 = 0$.

Это уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a = 4$, $b = -10$, $c = 5$.

Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-10)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 5 = 100 - 80 = 20$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$\sqrt{D} = \sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$

$x_{1,2} = \frac{-(-10) \pm 2\sqrt{5}}{2 \cdot 4} = \frac{10 \pm 2\sqrt{5}}{8} = \frac{2(5 \pm \sqrt{5})}{8} = \frac{5 \pm \sqrt{5}}{4}$

Ответ: $\frac{5 - \sqrt{5}}{4}; \frac{5 + \sqrt{5}}{4}$.

в)

Решим квадратное уравнение $x^2 + 6x + 2 = 0$.

Это уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a = 1$, $b = 6$, $c = 2$.

Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 36 - 8 = 28$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$\sqrt{D} = \sqrt{28} = \sqrt{4 \cdot 7} = 2\sqrt{7}$

$x_{1,2} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{7}}{2 \cdot 1} = \frac{2(-3 \pm \sqrt{7})}{2} = -3 \pm \sqrt{7}$

Ответ: $-3 - \sqrt{7}; -3 + \sqrt{7}$.

г)

Для решения квадратного уравнения $-5x^2 - 6x + 1 = 0$ умножим все его члены на $-1$:

$5x^2 + 6x - 1 = 0$

Это уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a = 5$, $b = 6$, $c = -1$.

Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 6^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-1) = 36 + 20 = 56$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$\sqrt{D} = \sqrt{56} = \sqrt{4 \cdot 14} = 2\sqrt{14}$

$x_{1,2} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{14}}{2 \cdot 5} = \frac{2(-3 \pm \sqrt{14})}{10} = \frac{-3 \pm \sqrt{14}}{5}$

Ответ: $\frac{-3 - \sqrt{14}}{5}; \frac{-3 + \sqrt{14}}{5}$.