Страница 230, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

79 a) $4x^2 + 28x + 49 = 0;$

б) $-3x^2 - 24x - 49 = 0;$

в) $-25x^2 + 80x - 64 = 0;$

г) $2x^2 - 8x + 11 = 0.$

а)

Дано квадратное уравнение $4x^2 + 28x + 49 = 0$.

Это уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где коэффициенты $a=4$, $b=28$, $c=49$.

Можно заметить, что левая часть уравнения представляет собой формулу квадрата суммы $(m+n)^2 = m^2 + 2mn + n^2$.

В нашем случае $m^2 = 4x^2 = (2x)^2$, $n^2 = 49 = 7^2$. Проверим средний член: $2mn = 2 \cdot (2x) \cdot 7 = 28x$, что совпадает с условием.

Следовательно, уравнение можно свернуть в полный квадрат:

$(2x + 7)^2 = 0$

Это уравнение равносильно следующему линейному уравнению:

$2x + 7 = 0$

$2x = -7$

$x = -\frac{7}{2} = -3.5$

Альтернативное решение через дискриминант:

Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$.

$D = 28^2 - 4 \cdot 4 \cdot 49 = 784 - 784 = 0$.

Так как $D=0$, уравнение имеет один действительный корень, который находится по формуле $x = \frac{-b}{2a}$.

$x = \frac{-28}{2 \cdot 4} = \frac{-28}{8} = -\frac{7}{2} = -3.5$.

Ответ: $x = -3.5$.

б)

Дано квадратное уравнение $-3x^2 - 24x - 49 = 0$.

Для удобства вычислений умножим обе части уравнения на -1:

$3x^2 + 24x + 49 = 0$

Решим полученное уравнение, используя формулу для корней квадратного уравнения через дискриминант. Коэффициенты уравнения: $a=3$, $b=24$, $c=49$.

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$.

$D = 24^2 - 4 \cdot 3 \cdot 49 = 576 - 12 \cdot 49 = 576 - 588 = -12$.

Поскольку дискриминант $D = -12 < 0$, данное квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: нет корней.

в)

Дано квадратное уравнение $-25x^2 + 80x - 64 = 0$.

Умножим обе части уравнения на -1, чтобы коэффициент при $x^2$ был положительным:

$25x^2 - 80x + 64 = 0$

Левая часть этого уравнения является полным квадратом разности, так как соответствует формуле $(m-n)^2 = m^2 - 2mn + n^2$.

Здесь $m^2 = 25x^2 = (5x)^2$, $n^2 = 64 = 8^2$. Проверка среднего члена: $2mn = 2 \cdot (5x) \cdot 8 = 80x$.

Таким образом, уравнение можно переписать в виде:

$(5x - 8)^2 = 0$

Решаем полученное уравнение:

$5x - 8 = 0$

$5x = 8$

$x = \frac{8}{5} = 1.6$

Ответ: $x = 1.6$.

г)

Дано квадратное уравнение $2x^2 - 8x + 11 = 0$.

Это уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$ с коэффициентами $a=2$, $b=-8$, $c=11$.

Для определения количества корней вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-8)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 11 = 64 - 88 = -24$.

Так как дискриминант $D = -24 < 0$, уравнение не имеет корней в множестве действительных чисел.

Ответ: нет корней.

80 а) $(x - 1)(x - 2) = (3x + 2)(3 - x) + 2;$

б) $(x + 4)(4x - 3) = x^2 + 5x + 4;$

в) $x^2 + x + 12 = 2(x + 1)(x - 5);$

г) $19 - (x - 6)(2x + 1) = (x - 5)(x - 1).$

а) $(x - 1)(x - 2) = (3x + 2)(3 - x) + 2$
Раскроем скобки в обеих частях уравнения:
$x^2 - 2x - x + 2 = 9x - 3x^2 + 6 - 2x + 2$
Приведем подобные слагаемые в каждой части:
$x^2 - 3x + 2 = -3x^2 + 7x + 8$
Перенесем все члены в левую часть и приравняем к нулю:
$x^2 - 3x + 2 + 3x^2 - 7x - 8 = 0$
$(x^2 + 3x^2) + (-3x - 7x) + (2 - 8) = 0$
$4x^2 - 10x - 6 = 0$
Разделим все уравнение на 2 для упрощения:
$2x^2 - 5x - 3 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49$
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 7}{4} = \frac{12}{4} = 3$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 7}{4} = \frac{-2}{4} = -0.5$
Ответ: $x_1 = 3$, $x_2 = -0.5$.

б) $(x + 4)(4x - 3) = x^2 + 5x + 4$
Раскроем скобки в левой части уравнения:
$4x^2 - 3x + 16x - 12 = x^2 + 5x + 4$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$4x^2 + 13x - 12 = x^2 + 5x + 4$
Перенесем все члены из правой части в левую:
$4x^2 + 13x - 12 - x^2 - 5x - 4 = 0$
Приведем подобные слагаемые:
$3x^2 + 8x - 16 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-16) = 64 + 192 = 256$
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 + \sqrt{256}}{2 \cdot 3} = \frac{-8 + 16}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 - \sqrt{256}}{2 \cdot 3} = \frac{-8 - 16}{6} = \frac{-24}{6} = -4$
Ответ: $x_1 = \frac{4}{3}$, $x_2 = -4$.

в) $x^2 + x + 12 = 2(x + 1)(x - 5)$
Раскроем скобки в правой части уравнения:
$x^2 + x + 12 = 2(x^2 - 5x + x - 5)$
$x^2 + x + 12 = 2(x^2 - 4x - 5)$
$x^2 + x + 12 = 2x^2 - 8x - 10$
Перенесем все члены в правую часть для удобства, чтобы коэффициент при $x^2$ был положительным:
$0 = 2x^2 - 8x - 10 - x^2 - x - 12$
Приведем подобные слагаемые:
$x^2 - 9x - 22 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-22) = 81 + 88 = 169$
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 + \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{9 + 13}{2} = \frac{22}{2} = 11$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 - \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{9 - 13}{2} = \frac{-4}{2} = -2$
Ответ: $x_1 = 11$, $x_2 = -2$.

г) $19 - (x - 6)(2x + 1) = (x - 5)(x - 1)$
Раскроем скобки в обеих частях уравнения:
$19 - (2x^2 + x - 12x - 6) = x^2 - x - 5x + 5$
Приведем подобные слагаемые внутри скобок слева и в правой части:
$19 - (2x^2 - 11x - 6) = x^2 - 6x + 5$
Раскроем скобки в левой части:
$19 - 2x^2 + 11x + 6 = x^2 - 6x + 5$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$-2x^2 + 11x + 25 = x^2 - 6x + 5$
Перенесем все члены в правую часть:
$0 = x^2 - 6x + 5 + 2x^2 - 11x - 25$
Приведем подобные слагаемые:
$3x^2 - 17x - 20 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-17)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-20) = 289 + 240 = 529$
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{17 + \sqrt{529}}{2 \cdot 3} = \frac{17 + 23}{6} = \frac{40}{6} = \frac{20}{3}$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{17 - \sqrt{529}}{2 \cdot 3} = \frac{17 - 23}{6} = \frac{-6}{6} = -1$
Ответ: $x_1 = \frac{20}{3}$, $x_2 = -1$.

81 a) $\frac{8x^2 + x}{8} = \frac{15}{32}$;

б) $\frac{2x^2 - 3x}{2} + \frac{9x + 2}{3} = \frac{3 - 2x^2}{6}$;

в) $\frac{10x^2 - 3x}{2} = \frac{7}{5}$;

г) $\frac{7x + 15}{12} - \frac{6x^2 + 1}{6} = \frac{3 - 6x^2}{2}$.

а)

Дано уравнение: $ \frac{8x^2 + x}{8} = \frac{15}{32} $.

Чтобы избавиться от знаменателей, умножим обе части уравнения на их наименьшее общее кратное, которое равно 32.

$ 32 \cdot \frac{8x^2 + x}{8} = 32 \cdot \frac{15}{32} $

$ 4(8x^2 + x) = 15 $

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:

$ 32x^2 + 4x = 15 $

$ 32x^2 + 4x - 15 = 0 $

Решим полученное квадратное уравнение. Коэффициенты: $a = 32$, $b = 4$, $c = -15$.

Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$ D = 4^2 - 4 \cdot 32 \cdot (-15) = 16 + 1920 = 1936 $

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{1936} = 44$.

Теперь найдем корни по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$ x_1 = \frac{-4 + 44}{2 \cdot 32} = \frac{40}{64} = \frac{5}{8} $

$ x_2 = \frac{-4 - 44}{2 \cdot 32} = \frac{-48}{64} = -\frac{3}{4} $

Ответ: $x_1 = \frac{5}{8}, x_2 = -\frac{3}{4}$.

б)

Дано уравнение: $ \frac{2x^2 - 3x}{2} + \frac{9x + 2}{3} = \frac{3 - 2x^2}{6} $.

Умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель, равный 6.

$ 6 \cdot \frac{2x^2 - 3x}{2} + 6 \cdot \frac{9x + 2}{3} = 6 \cdot \frac{3 - 2x^2}{6} $

$ 3(2x^2 - 3x) + 2(9x + 2) = 3 - 2x^2 $

Раскроем скобки и упростим выражение:

$ 6x^2 - 9x + 18x + 4 = 3 - 2x^2 $

$ 6x^2 + 9x + 4 = 3 - 2x^2 $

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$ 6x^2 + 2x^2 + 9x + 4 - 3 = 0 $

$ 8x^2 + 9x + 1 = 0 $

Решим это уравнение. Коэффициенты: $a = 8$, $b = 9$, $c = 1$.

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$ D = 9^2 - 4 \cdot 8 \cdot 1 = 81 - 32 = 49 $

Корень из дискриминанта: $\sqrt{49} = 7$.

Найдем корни по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$ x_1 = \frac{-9 + 7}{2 \cdot 8} = \frac{-2}{16} = -\frac{1}{8} $

$ x_2 = \frac{-9 - 7}{2 \cdot 8} = \frac{-16}{16} = -1 $

Ответ: $x_1 = -1, x_2 = -\frac{1}{8}$.

в)

Дано уравнение: $ \frac{10x^2 - 3x}{2} = \frac{7}{5} $.

Воспользуемся основным свойством пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних) или умножим обе части на наименьший общий знаменатель 10:

$ 5(10x^2 - 3x) = 2 \cdot 7 $

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному виду:

$ 50x^2 - 15x = 14 $

$ 50x^2 - 15x - 14 = 0 $

Решим полученное квадратное уравнение. Коэффициенты: $a = 50$, $b = -15$, $c = -14$.

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$ D = (-15)^2 - 4 \cdot 50 \cdot (-14) = 225 + 2800 = 3025 $

Корень из дискриминанта: $\sqrt{3025} = 55$.

Найдем корни по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$ x_1 = \frac{-(-15) + 55}{2 \cdot 50} = \frac{15 + 55}{100} = \frac{70}{100} = \frac{7}{10} $

$ x_2 = \frac{-(-15) - 55}{2 \cdot 50} = \frac{15 - 55}{100} = \frac{-40}{100} = -\frac{4}{10} = -\frac{2}{5} $

Ответ: $x_1 = \frac{7}{10}, x_2 = -\frac{2}{5}$.

г)

Дано уравнение: $ \frac{7x + 15}{12} - \frac{6x^2 + 1}{6} = \frac{3 - 6x^2}{2} $.

Умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель, который равен 12.

$ 12 \cdot \left(\frac{7x + 15}{12}\right) - 12 \cdot \left(\frac{6x^2 + 1}{6}\right) = 12 \cdot \left(\frac{3 - 6x^2}{2}\right) $

$ 1(7x + 15) - 2(6x^2 + 1) = 6(3 - 6x^2) $

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$ 7x + 15 - 12x^2 - 2 = 18 - 36x^2 $

$ -12x^2 + 7x + 13 = 18 - 36x^2 $

Перенесем все члены в левую часть уравнения:

$ -12x^2 + 36x^2 + 7x + 13 - 18 = 0 $

$ 24x^2 + 7x - 5 = 0 $

Решим полученное квадратное уравнение. Коэффициенты: $a = 24$, $b = 7$, $c = -5$.

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$ D = 7^2 - 4 \cdot 24 \cdot (-5) = 49 + 480 = 529 $

Корень из дискриминанта: $\sqrt{529} = 23$.

Найдем корни по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$ x_1 = \frac{-7 + 23}{2 \cdot 24} = \frac{16}{48} = \frac{1}{3} $

$ x_2 = \frac{-7 - 23}{2 \cdot 24} = \frac{-30}{48} = -\frac{5}{8} $

Ответ: $x_1 = \frac{1}{3}, x_2 = -\frac{5}{8}$.

82 Одно из двух положительных чисел на 4 больше другого. Найдите эти числа, если их произведение равно 96.

Пусть меньшее из двух положительных чисел равно $x$.

Поскольку другое число на 4 больше, то оно будет равно $x + 4$.

В условии сказано, что оба числа положительные, значит $x > 0$.

Произведение этих двух чисел равно 96. На основе этого составим уравнение:

$x \cdot (x + 4) = 96$

Для решения уравнения раскроем скобки и приведем его к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 + 4x = 96$

$x^2 + 4x - 96 = 0$

Теперь решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-96) = 16 + 384 = 400$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-4 + \sqrt{400}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 20}{2} = \frac{16}{2} = 8$

$x_2 = \frac{-4 - \sqrt{400}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 20}{2} = \frac{-24}{2} = -12$

Согласно условию задачи, мы ищем положительные числа, поэтому корень $x_2 = -12$ нам не подходит.

Таким образом, меньшее число равно 8.

Найдем второе, большее число:

$x + 4 = 8 + 4 = 12$

Проведем проверку: оба числа, 8 и 12, являются положительными. Одно из них (12) на 4 больше другого (8). Их произведение равно $8 \times 12 = 96$. Все условия задачи выполнены.

Ответ: 8 и 12.

83 Одна сторона прямоугольника в 3 раза больше, а другая на 8 см меньше стороны квадрата. Найдите площадь квадрата, если она больше площади прямоугольника на $54 \text{ см}^2$.

Для решения задачи введем переменную. Пусть сторона квадрата равна $x$ см.

Исходя из условия, одна сторона прямоугольника в 3 раза больше стороны квадрата, значит, ее длина равна $3x$ см. Другая сторона прямоугольника на 8 см меньше стороны квадрата, то есть ее длина составляет $(x - 8)$ см. Важно отметить, что длина стороны не может быть отрицательной, поэтому должно выполняться условие $x - 8 > 0$, из которого следует, что $x > 8$ см.

Площадь квадрата ($S_{кв}$) вычисляется как квадрат его стороны:$S_{кв} = x^2$

Площадь прямоугольника ($S_{пр}$) равна произведению длин его смежных сторон:$S_{пр} = 3x \cdot (x - 8)$

По условию, площадь квадрата на 54 см² больше площади прямоугольника. Составим уравнение на основе этого утверждения:$S_{кв} = S_{пр} + 54$$x^2 = 3x(x - 8) + 54$

Решим полученное уравнение. Раскроем скобки в правой части:$x^2 = 3x^2 - 24x + 54$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:$3x^2 - x^2 - 24x + 54 = 0$$2x^2 - 24x + 54 = 0$

Для упрощения разделим обе части уравнения на 2:$x^2 - 12x + 27 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна 12, а их произведение равно 27. Легко подобрать корни:$x_1 = 3$$x_2 = 9$

Теперь необходимо проверить корни на соответствие условию задачи. Ранее мы установили, что $x > 8$.Корень $x_1 = 3$ не удовлетворяет этому условию, так как в этом случае длина одной из сторон прямоугольника была бы отрицательной ($3 - 8 = -5$ см), что физически невозможно.Корень $x_2 = 9$ удовлетворяет условию $x > 8$. При этом стороны прямоугольника будут равны $3 \cdot 9 = 27$ см и $9 - 8 = 1$ см.

Следовательно, сторона квадрата равна 9 см.

Вопрос задачи — найти площадь квадрата. Вычислим ее:$S_{кв} = x^2 = 9^2 = 81$ см².

Проверка:
Площадь квадрата: $S_{кв} = 81$ см².
Площадь прямоугольника: $S_{пр} = 27 \cdot 1 = 27$ см².
Разница площадей: $81 - 27 = 54$ см². Это соответствует условию задачи.

Ответ: 81 см².

84 Прямоугольный участок земли обнесён забором, длина которого 80 м. Площадь участка 175 $m^2$. Найдите стороны участка.

Пусть стороны прямоугольного участка равны $a$ и $b$ метров.

Длина забора — это периметр прямоугольника, который вычисляется по формуле $P = 2(a + b)$. Площадь участка — это площадь прямоугольника, вычисляемая по формуле $S = a \cdot b$.

Исходя из условий задачи, мы можем составить систему из двух уравнений:

$ \begin{cases} 2(a + b) = 80 \\ a \cdot b = 175 \end{cases} $

Рассмотрим первое уравнение и выразим из него сумму сторон:

$a + b = \frac{80}{2}$
$a + b = 40$

Теперь выразим одну сторону через другую, например, $a$ через $b$:

$a = 40 - b$

Подставим полученное выражение для $a$ во второе уравнение системы:

$(40 - b) \cdot b = 175$

Раскроем скобки и преобразуем уравнение в стандартный вид квадратного уравнения:

$40b - b^2 = 175$
$b^2 - 40b + 175 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = B^2 - 4AC$:

$D = (-40)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 175 = 1600 - 700 = 900$

Найдем корни уравнения (возможные значения для стороны $b$):

$b_1 = \frac{-(-40) + \sqrt{900}}{2 \cdot 1} = \frac{40 + 30}{2} = \frac{70}{2} = 35$

$b_2 = \frac{-(-40) - \sqrt{900}}{2 \cdot 1} = \frac{40 - 30}{2} = \frac{10}{2} = 5$

Теперь найдем соответствующие значения для второй стороны $a$, используя ранее выведенную формулу $a = 40 - b$:

Если $b = 35$ м, то $a = 40 - 35 = 5$ м.

Если $b = 5$ м, то $a = 40 - 5 = 35$ м.

Таким образом, стороны прямоугольного участка — это 5 м и 35 м.

Проверим, соответствуют ли найденные значения условиям задачи:

Периметр: $P = 2(5 + 35) = 2 \cdot 40 = 80$ м.

Площадь: $S = 5 \cdot 35 = 175$ м$^2$.

Оба условия выполнены.

Ответ: стороны участка равны 5 м и 35 м.

85 Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 17 см, а один из катетов на 7 см меньше другого. Найдите площадь треугольника.

Пусть один катет прямоугольного треугольника равен $x$ см. Согласно условию, другой катет на 7 см меньше, следовательно, его длина составляет $(x - 7)$ см. Гипотенуза равна 17 см.

Воспользуемся теоремой Пифагора, которая гласит, что сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы ($a^2 + b^2 = c^2$):

$x^2 + (x - 7)^2 = 17^2$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые, чтобы решить полученное квадратное уравнение:

$x^2 + (x^2 - 14x + 49) = 289$

$2x^2 - 14x + 49 - 289 = 0$

$2x^2 - 14x - 240 = 0$

Для удобства разделим все члены уравнения на 2:

$x^2 - 7x - 120 = 0$

Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта ($D = b^2 - 4ac$):

$D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-120) = 49 + 480 = 529$

$\sqrt{D} = \sqrt{529} = 23$

Теперь найдем значения $x$:

$x_1 = \frac{-(-7) + 23}{2 \cdot 1} = \frac{7 + 23}{2} = \frac{30}{2} = 15$

$x_2 = \frac{-(-7) - 23}{2 \cdot 1} = \frac{7 - 23}{2} = \frac{-16}{2} = -8$

Поскольку длина стороны треугольника не может быть отрицательным числом, корень $x_2 = -8$ не является решением задачи. Таким образом, длина одного катета равна 15 см.

Длина второго катета составляет $x - 7 = 15 - 7 = 8$ см.

Площадь прямоугольного треугольника находится как половина произведения его катетов: $S = \frac{1}{2}ab$.

$S = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 8 = 15 \cdot 4 = 60$ см$^2$.

Ответ: 60 см$^2$.

86 Гипотенуза прямоугольного треугольника на 2 см больше одного катета и на 16 см больше другого. Найдите стороны треугольника.

Пусть $c$ — длина гипотенузы, $a$ и $b$ — длины катетов прямоугольного треугольника.

Согласно условию задачи, гипотенуза на 2 см больше одного катета и на 16 см больше другого. Запишем это в виде уравнений:
$c = a + 2$
$c = b + 16$

Из этих уравнений выразим длины катетов через длину гипотенузы:
$a = c - 2$
$b = c - 16$

По теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы: $a^2 + b^2 = c^2$. Подставим в это уравнение выражения для $a$ и $b$:
$(c - 2)^2 + (c - 16)^2 = c^2$

Теперь решим полученное уравнение. Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности:
$(c^2 - 4c + 4) + (c^2 - 32c + 256) = c^2$

Приведем подобные слагаемые и получим стандартное квадратное уравнение:
$2c^2 - 36c + 260 = c^2$
$c^2 - 36c + 260 = 0$

Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-36)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 260 = 1296 - 1040 = 256$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. $\sqrt{D} = \sqrt{256} = 16$.
$c_1 = \frac{36 + 16}{2} = \frac{52}{2} = 26$
$c_2 = \frac{36 - 16}{2} = \frac{20}{2} = 10$

Проверим оба найденных значения $c$. Длины сторон треугольника должны быть положительными числами.
1. Если гипотенуза $c = 26$ см, то катеты равны $a = 26 - 2 = 24$ см и $b = 26 - 16 = 10$ см. Все значения положительны, следовательно, это правильное решение.
2. Если гипотенуза $c = 10$ см, то катет $b = 10 - 16 = -6$ см. Длина стороны не может быть отрицательной, поэтому это значение не является решением задачи.

Ответ: стороны треугольника равны 10 см, 24 см и 26 см.

87 Стороны двух квадратов пропорциональны числам 3 и 4. Если сторону второго квадрата уменьшить на 2 см, а сторону первого квадрата увеличить на 2 см, то разность площадей полученных квадратов будет равна $35 \text{ см}^2$. Найдите стороны данных квадратов.

Пусть стороны первого и второго квадратов равны $a_1$ и $a_2$ соответственно. По условию задачи, стороны двух квадратов пропорциональны числам 3 и 4. Это можно записать в виде отношения: $a_1 : a_2 = 3 : 4$

Введем коэффициент пропорциональности $k$. Тогда стороны квадратов можно выразить как: $a_1 = 3k$ см, $a_2 = 4k$ см. Поскольку длина стороны не может быть отрицательной, коэффициент $k$ должен быть положительным ($k > 0$).

Согласно условию, сторону второго квадрата уменьшили на 2 см, а сторону первого квадрата увеличили на 2 см. Найдем новые длины сторон: Новая сторона первого квадрата: $a_1' = a_1 + 2 = 3k + 2$ см. Новая сторона второго квадрата: $a_2' = a_2 - 2 = 4k - 2$ см. Чтобы сторона второго квадрата имела физический смысл, необходимо, чтобы $4k - 2 > 0$, то есть $k > 0.5$.

Площади полученных квадратов равны: Площадь первого нового квадрата: $S_1' = (a_1')^2 = (3k + 2)^2$ см². Площадь второго нового квадрата: $S_2' = (a_2')^2 = (4k - 2)^2$ см².

Разность площадей полученных квадратов равна 35 см². Составим уравнение. Поскольку изначально второй квадрат был больше (так как $4k > 3k$ при $k>0$), предположим, что и после изменений его площадь осталась больше. $S_2' - S_1' = 35$ $(4k - 2)^2 - (3k + 2)^2 = 35$

Раскроем скобки, используя формулы квадрата разности и квадрата суммы $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$: $(16k^2 - 16k + 4) - (9k^2 + 12k + 4) = 35$ $16k^2 - 16k + 4 - 9k^2 - 12k - 4 = 35$

Приведем подобные слагаемые: $(16k^2 - 9k^2) + (-16k - 12k) + (4 - 4) = 35$ $7k^2 - 28k = 35$

Перенесем 35 в левую часть и разделим все уравнение на 7, чтобы упростить его: $7k^2 - 28k - 35 = 0 \quad | :7$ $k^2 - 4k - 5 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или найти дискриминант. По теореме Виета, сумма корней равна 4, а их произведение равно -5. Корни: $k_1 = 5$ и $k_2 = -1$. Или через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36 = 6^2$ $k = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm 6}{2}$ $k_1 = \frac{4 + 6}{2} = \frac{10}{2} = 5$ $k_2 = \frac{4 - 6}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Так как коэффициент пропорциональности $k$ должен быть положительным (длины сторон не могут быть отрицательными), корень $k_2 = -1$ не удовлетворяет условию задачи. Следовательно, $k = 5$.

Теперь найдем исходные стороны данных квадратов: Сторона первого квадрата: $a_1 = 3k = 3 \cdot 5 = 15$ см. Сторона второго квадрата: $a_2 = 4k = 4 \cdot 5 = 20$ см.

Ответ: стороны данных квадратов равны 15 см и 20 см.

88 Периметр прямоугольного треугольника равен 48 см, а его гипотенуза 20 см. Найдите катеты треугольника.

Обозначим катеты прямоугольного треугольника как $a$ и $b$, а гипотенузу как $c$. Согласно условию задачи, периметр $P = 48$ см, а гипотенуза $c = 20$ см.

Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон: $P = a + b + c$. Подставив известные значения, получим уравнение для суммы катетов:

$48 = a + b + 20$

$a + b = 48 - 20 = 28$

Для любого прямоугольного треугольника верна теорема Пифагора: $a^2 + b^2 = c^2$. Подставим известное значение гипотенузы:

$a^2 + b^2 = 20^2$

$a^2 + b^2 = 400$

Таким образом, мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} a + b = 28 \\ a^2 + b^2 = 400 \end{cases}$

Для решения системы выразим переменную $b$ из первого уравнения: $b = 28 - a$. Теперь подставим это выражение во второе уравнение:

$a^2 + (28 - a)^2 = 400$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$a^2 + (784 - 56a + a^2) = 400$

$2a^2 - 56a + 784 = 400$

$2a^2 - 56a + 384 = 0$

Для упрощения разделим все члены уравнения на 2:

$a^2 - 28a + 192 = 0$

Это квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта $D = B^2 - 4AC$:

$D = (-28)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 192 = 784 - 768 = 16$

Корни уравнения:

$a_1 = \frac{-(-28) + \sqrt{16}}{2} = \frac{28 + 4}{2} = 16$

$a_2 = \frac{-(-28) - \sqrt{16}}{2} = \frac{28 - 4}{2} = 12$

Найденные значения — это длины катетов. Если один катет $a = 16$ см, то второй катет $b = 28 - 16 = 12$ см. Если же $a = 12$ см, то $b = 28 - 12 = 16$ см. В обоих случаях длины катетов одинаковы.

Ответ: катеты треугольника равны 12 см и 16 см.

89 Диагональ прямоугольника равна 34 см, а его периметр 92 см. Найдите площадь прямоугольника.

Обозначим стороны прямоугольника как $a$ и $b$.

Периметр прямоугольника $P$ вычисляется по формуле $P = 2(a+b)$. Согласно условию задачи, периметр равен 92 см. Составим первое уравнение:
$2(a+b) = 92$
Разделим обе части уравнения на 2:
$a+b = 46$

Диагональ прямоугольника $d$, его длина $a$ и ширина $b$ образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы (диагонали) равен сумме квадратов катетов (сторон). По условию, диагональ равна 34 см. Составим второе уравнение:
$a^2 + b^2 = d^2$
$a^2 + b^2 = 34^2$
$a^2 + b^2 = 1156$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:
1) $a+b = 46$
2) $a^2 + b^2 = 1156$

Площадь прямоугольника $S$ равна произведению его сторон: $S = a \cdot b$. Чтобы найти значение $ab$, возведем первое уравнение в квадрат:
$(a+b)^2 = 46^2$
$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
$a^2 + 2ab + b^2 = 2116$

Мы знаем, что $a^2 + b^2 = 1156$. Подставим это значение в полученное уравнение:
$(a^2 + b^2) + 2ab = 2116$
$1156 + 2ab = 2116$
Теперь найдем $2ab$:
$2ab = 2116 - 1156$
$2ab = 960$
Площадь $S = ab$, поэтому:
$S = \frac{960}{2}$
$S = 480$ см²

Ответ: 480 см².

90 При каком значении c вершина параболы $y = x^2 - 10x + c$ отстоит от начала координат на 13 единичных отрезков?

Уравнение параболы задано в виде $y = x^2 - 10x + c$.
Координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$ для общего вида $y = ax^2 + bx + c$ находятся по формулам:
$x_v = -\frac{b}{2a}$
$y_v = y(x_v)$
В данном уравнении коэффициенты $a=1$ и $b=-10$.
Найдем абсциссу (координату $x$) вершины параболы:
$x_v = -\frac{-10}{2 \cdot 1} = \frac{10}{2} = 5$
Теперь найдем ординату (координату $y$) вершины, подставив значение $x_v = 5$ в уравнение параболы:
$y_v = (5)^2 - 10 \cdot 5 + c = 25 - 50 + c = c - 25$
Следовательно, вершина параболы находится в точке с координатами $V(5, c - 25)$.

Расстояние $d$ от точки с координатами $(x, y)$ до начала координат $(0, 0)$ вычисляется по формуле расстояния между двумя точками (которая является следствием теоремы Пифагора):
$d = \sqrt{(x - 0)^2 + (y - 0)^2} = \sqrt{x^2 + y^2}$
По условию задачи, расстояние от вершины параболы до начала координат равно 13. Подставим координаты вершины $x = 5$ и $y = c - 25$ в формулу расстояния:
$13 = \sqrt{5^2 + (c - 25)^2}$
Чтобы решить это уравнение относительно $c$, возведем обе части в квадрат:
$13^2 = 5^2 + (c - 25)^2$
$169 = 25 + (c - 25)^2$
Выразим слагаемое с неизвестной:
$(c - 25)^2 = 169 - 25$
$(c - 25)^2 = 144$
Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Следует помнить, что корень из числа может быть как положительным, так и отрицательным:
$c - 25 = \pm\sqrt{144}$
$c - 25 = \pm12$
Это приводит к двум возможным решениям:
1) $c - 25 = 12 \implies c = 12 + 25 \implies c = 37$
2) $c - 25 = -12 \implies c = -12 + 25 \implies c = 13$
Таким образом, существуют два значения $c$, при которых вершина параболы будет находиться на расстоянии 13 единичных отрезков от начала координат.
Ответ: $13$ или $37$.