Номер 86, страница 230, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Итоговое повторение. Часть 2 - номер 86, страница 230.

Условие.

86 Гипотенуза прямоугольного треугольника на 2 см больше одного катета и на 16 см больше другого. Найдите стороны треугольника.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Пусть $c$ — длина гипотенузы, $a$ и $b$ — длины катетов прямоугольного треугольника.

Согласно условию задачи, гипотенуза на 2 см больше одного катета и на 16 см больше другого. Запишем это в виде уравнений:
$c = a + 2$
$c = b + 16$

Из этих уравнений выразим длины катетов через длину гипотенузы:
$a = c - 2$
$b = c - 16$

По теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы: $a^2 + b^2 = c^2$. Подставим в это уравнение выражения для $a$ и $b$:
$(c - 2)^2 + (c - 16)^2 = c^2$

Теперь решим полученное уравнение. Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности:
$(c^2 - 4c + 4) + (c^2 - 32c + 256) = c^2$

Приведем подобные слагаемые и получим стандартное квадратное уравнение:
$2c^2 - 36c + 260 = c^2$
$c^2 - 36c + 260 = 0$

Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-36)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 260 = 1296 - 1040 = 256$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. $\sqrt{D} = \sqrt{256} = 16$.
$c_1 = \frac{36 + 16}{2} = \frac{52}{2} = 26$
$c_2 = \frac{36 - 16}{2} = \frac{20}{2} = 10$

Проверим оба найденных значения $c$. Длины сторон треугольника должны быть положительными числами.
1. Если гипотенуза $c = 26$ см, то катеты равны $a = 26 - 2 = 24$ см и $b = 26 - 16 = 10$ см. Все значения положительны, следовательно, это правильное решение.
2. Если гипотенуза $c = 10$ см, то катет $b = 10 - 16 = -6$ см. Длина стороны не может быть отрицательной, поэтому это значение не является решением задачи.

Ответ: стороны треугольника равны 10 см, 24 см и 26 см.