Номер 83, страница 230, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Итоговое повторение. Часть 2 - номер 83, страница 230.

Условие.

83 Одна сторона прямоугольника в 3 раза больше, а другая на 8 см меньше стороны квадрата. Найдите площадь квадрата, если она больше площади прямоугольника на $54 \text{ см}^2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Для решения задачи введем переменную. Пусть сторона квадрата равна $x$ см.

Исходя из условия, одна сторона прямоугольника в 3 раза больше стороны квадрата, значит, ее длина равна $3x$ см. Другая сторона прямоугольника на 8 см меньше стороны квадрата, то есть ее длина составляет $(x - 8)$ см. Важно отметить, что длина стороны не может быть отрицательной, поэтому должно выполняться условие $x - 8 > 0$, из которого следует, что $x > 8$ см.

Площадь квадрата ($S_{кв}$) вычисляется как квадрат его стороны:$S_{кв} = x^2$

Площадь прямоугольника ($S_{пр}$) равна произведению длин его смежных сторон:$S_{пр} = 3x \cdot (x - 8)$

По условию, площадь квадрата на 54 см² больше площади прямоугольника. Составим уравнение на основе этого утверждения:$S_{кв} = S_{пр} + 54$$x^2 = 3x(x - 8) + 54$

Решим полученное уравнение. Раскроем скобки в правой части:$x^2 = 3x^2 - 24x + 54$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:$3x^2 - x^2 - 24x + 54 = 0$$2x^2 - 24x + 54 = 0$

Для упрощения разделим обе части уравнения на 2:$x^2 - 12x + 27 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна 12, а их произведение равно 27. Легко подобрать корни:$x_1 = 3$$x_2 = 9$

Теперь необходимо проверить корни на соответствие условию задачи. Ранее мы установили, что $x > 8$.Корень $x_1 = 3$ не удовлетворяет этому условию, так как в этом случае длина одной из сторон прямоугольника была бы отрицательной ($3 - 8 = -5$ см), что физически невозможно.Корень $x_2 = 9$ удовлетворяет условию $x > 8$. При этом стороны прямоугольника будут равны $3 \cdot 9 = 27$ см и $9 - 8 = 1$ см.

Следовательно, сторона квадрата равна 9 см.

Вопрос задачи — найти площадь квадрата. Вычислим ее:$S_{кв} = x^2 = 9^2 = 81$ см².

Проверка:
Площадь квадрата: $S_{кв} = 81$ см².
Площадь прямоугольника: $S_{пр} = 27 \cdot 1 = 27$ см².
Разница площадей: $81 - 27 = 54$ см². Это соответствует условию задачи.

Ответ: 81 см².