Номер 87, страница 230, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Итоговое повторение. Часть 2 - номер 87, страница 230.

Условие.

87 Стороны двух квадратов пропорциональны числам 3 и 4. Если сторону второго квадрата уменьшить на 2 см, а сторону первого квадрата увеличить на 2 см, то разность площадей полученных квадратов будет равна $35 \text{ см}^2$. Найдите стороны данных квадратов.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Пусть стороны первого и второго квадратов равны $a_1$ и $a_2$ соответственно. По условию задачи, стороны двух квадратов пропорциональны числам 3 и 4. Это можно записать в виде отношения: $a_1 : a_2 = 3 : 4$

Введем коэффициент пропорциональности $k$. Тогда стороны квадратов можно выразить как: $a_1 = 3k$ см, $a_2 = 4k$ см. Поскольку длина стороны не может быть отрицательной, коэффициент $k$ должен быть положительным ($k > 0$).

Согласно условию, сторону второго квадрата уменьшили на 2 см, а сторону первого квадрата увеличили на 2 см. Найдем новые длины сторон: Новая сторона первого квадрата: $a_1' = a_1 + 2 = 3k + 2$ см. Новая сторона второго квадрата: $a_2' = a_2 - 2 = 4k - 2$ см. Чтобы сторона второго квадрата имела физический смысл, необходимо, чтобы $4k - 2 > 0$, то есть $k > 0.5$.

Площади полученных квадратов равны: Площадь первого нового квадрата: $S_1' = (a_1')^2 = (3k + 2)^2$ см². Площадь второго нового квадрата: $S_2' = (a_2')^2 = (4k - 2)^2$ см².

Разность площадей полученных квадратов равна 35 см². Составим уравнение. Поскольку изначально второй квадрат был больше (так как $4k > 3k$ при $k>0$), предположим, что и после изменений его площадь осталась больше. $S_2' - S_1' = 35$ $(4k - 2)^2 - (3k + 2)^2 = 35$

Раскроем скобки, используя формулы квадрата разности и квадрата суммы $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$: $(16k^2 - 16k + 4) - (9k^2 + 12k + 4) = 35$ $16k^2 - 16k + 4 - 9k^2 - 12k - 4 = 35$

Приведем подобные слагаемые: $(16k^2 - 9k^2) + (-16k - 12k) + (4 - 4) = 35$ $7k^2 - 28k = 35$

Перенесем 35 в левую часть и разделим все уравнение на 7, чтобы упростить его: $7k^2 - 28k - 35 = 0 \quad | :7$ $k^2 - 4k - 5 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или найти дискриминант. По теореме Виета, сумма корней равна 4, а их произведение равно -5. Корни: $k_1 = 5$ и $k_2 = -1$. Или через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36 = 6^2$ $k = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm 6}{2}$ $k_1 = \frac{4 + 6}{2} = \frac{10}{2} = 5$ $k_2 = \frac{4 - 6}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Так как коэффициент пропорциональности $k$ должен быть положительным (длины сторон не могут быть отрицательными), корень $k_2 = -1$ не удовлетворяет условию задачи. Следовательно, $k = 5$.

Теперь найдем исходные стороны данных квадратов: Сторона первого квадрата: $a_1 = 3k = 3 \cdot 5 = 15$ см. Сторона второго квадрата: $a_2 = 4k = 4 \cdot 5 = 20$ см.

Ответ: стороны данных квадратов равны 15 см и 20 см.