Номер 94, страница 231, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Итоговое повторение. Часть 2 - номер 94, страница 231.

Условие.

94 а) $(x^2 + 3)^2 - 7(x^2 + 3) + 12 = 0;$

б) $3(6x^2 - x)^2 - 4(6x^2 - x) + 1 = 0;$

в) $2(x^2 - 1)^2 - 13(x^2 - 1) - 24 = 0;$

г) $(x^2 - 4x)^2 + 9(x^2 - 4x) + 20 = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) $(x^2 + 3)^2 - 7(x^2 + 3) + 12 = 0$

Данное уравнение является биквадратным относительно выражения $(x^2 + 3)$. Для его решения введем новую переменную. Пусть $y = x^2 + 3$. Тогда исходное уравнение можно переписать в виде квадратного уравнения относительно $y$:

$y^2 - 7y + 12 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Воспользуемся теоремой Виета. Сумма корней $y_1 + y_2 = 7$, а их произведение $y_1 \cdot y_2 = 12$. Подбором находим корни:

$y_1 = 3$, $y_2 = 4$

Теперь вернемся к исходной переменной $x$, выполнив обратную замену для каждого найденного значения $y$.

1. При $y = 3$:

$x^2 + 3 = 3$

$x^2 = 0$

$x = 0$

2. При $y = 4$:

$x^2 + 3 = 4$

$x^2 = 4 - 3$

$x^2 = 1$

$x_1 = 1$, $x_2 = -1$

Таким образом, мы получили три корня.

Ответ: $x \in \{-1, 0, 1\}$.

б) $3(6x^2 - x)^2 - 4(6x^2 - x) + 1 = 0$

Это уравнение решается методом замены переменной. Обозначим $y = 6x^2 - x$. Тогда уравнение принимает вид:

$3y^2 - 4y + 1 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение относительно $y$. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 16 - 12 = 4$

Найдем корни:

$y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{4 \pm 2}{6}$

$y_1 = \frac{4 + 2}{6} = \frac{6}{6} = 1$

$y_2 = \frac{4 - 2}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Теперь выполним обратную замену для каждого значения $y$.

1. При $y = 1$:

$6x^2 - x = 1$

$6x^2 - x - 1 = 0$

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-1) = 1 + 24 = 25$

$x_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{25}}{12} = \frac{1 \pm 5}{12}$

$x_1 = \frac{1 + 5}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$

$x_2 = \frac{1 - 5}{12} = -\frac{4}{12} = -\frac{1}{3}$

2. При $y = \frac{1}{3}$:

$6x^2 - x = \frac{1}{3}$

$18x^2 - 3x = 1$

$18x^2 - 3x - 1 = 0$

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 18 \cdot (-1) = 9 + 72 = 81$

$x_{3,4} = \frac{3 \pm \sqrt{81}}{2 \cdot 18} = \frac{3 \pm 9}{36}$

$x_3 = \frac{3 + 9}{36} = \frac{12}{36} = \frac{1}{3}$

$x_4 = \frac{3 - 9}{36} = -\frac{6}{36} = -\frac{1}{6}$

В результате получено четыре различных корня.

Ответ: $x \in \{-\frac{1}{3}, -\frac{1}{6}, \frac{1}{3}, \frac{1}{2}\}$.

в) $2(x^2 - 1)^2 - 13(x^2 - 1) - 24 = 0$

Введем замену переменной, чтобы упростить уравнение. Пусть $y = x^2 - 1$. Подставим $y$ в исходное уравнение:

$2y^2 - 13y - 24 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-24) = 169 + 192 = 361$

Поскольку $\sqrt{361} = 19$, найдем корни для $y$:

$y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 \pm 19}{2 \cdot 2} = \frac{13 \pm 19}{4}$

$y_1 = \frac{13 + 19}{4} = \frac{32}{4} = 8$

$y_2 = \frac{13 - 19}{4} = -\frac{6}{4} = -\frac{3}{2}$

Сделаем обратную замену.

1. При $y = 8$:

$x^2 - 1 = 8$

$x^2 = 9$

$x_1 = 3$, $x_2 = -3$

2. При $y = -\frac{3}{2}$:

$x^2 - 1 = -\frac{3}{2}$

$x^2 = 1 - \frac{3}{2}$

$x^2 = -\frac{1}{2}$

Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным.

Следовательно, исходное уравнение имеет два корня.

Ответ: $x \in \{-3, 3\}$.

г) $(x^2 - 4x)^2 + 9(x^2 - 4x) + 20 = 0$

Для решения этого уравнения используем метод замены. Пусть $y = x^2 - 4x$. Заменим выражение в уравнении на $y$:

$y^2 + 9y + 20 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью теоремы Виета. Сумма корней $y_1 + y_2 = -9$, а произведение $y_1 \cdot y_2 = 20$. Корнями являются:

$y_1 = -4$, $y_2 = -5$

Выполним обратную замену для найденных значений $y$.

1. При $y = -4$:

$x^2 - 4x = -4$

$x^2 - 4x + 4 = 0$

Свернем левую часть по формуле квадрата разности:

$(x - 2)^2 = 0$

$x - 2 = 0$

$x = 2$

2. При $y = -5$:

$x^2 - 4x = -5$

$x^2 - 4x + 5 = 0$

Проверим дискриминант этого квадратного уравнения:

$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4$

Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

Таким образом, исходное уравнение имеет только один корень.

Ответ: $x = 2$.