Номер 97, страница 231, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Итоговое повторение. Часть 2 - номер 97, страница 231.

Условие.

97 a) Вычислите $ \frac{3}{x_1} + \frac{3}{x_2} $, где $ x_1 $ и $ x_2 $ — корни уравнения

$ 3x^2 - 2x - 6 = 0 $.

б) Вычислите $ x_1^3 + x_2^3 $, где $ x_1 $ и $ x_2 $ — корни уравнения $ x^2 + x - 5 = 0 $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а)

Требуется вычислить значение выражения $\frac{3}{x_1} + \frac{3}{x_2}$, где $x_1$ и $x_2$ — корни квадратного уравнения $3x^2 - 2x - 6 = 0$.

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой Виета. Для квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$ справедливы следующие соотношения:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

В нашем уравнении $3x^2 - 2x - 6 = 0$ коэффициенты равны: $a = 3$, $b = -2$, $c = -6$.

Найдем сумму и произведение корней:

$x_1 + x_2 = -\frac{-2}{3} = \frac{2}{3}$

$x_1 \cdot x_2 = \frac{-6}{3} = -2$

Теперь преобразуем исходное выражение, чтобы выразить его через сумму и произведение корней. Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{3}{x_1} + \frac{3}{x_2} = \frac{3x_2 + 3x_1}{x_1 \cdot x_2} = \frac{3(x_1 + x_2)}{x_1 \cdot x_2}$

Подставим найденные значения суммы и произведения корней в преобразованное выражение:

$\frac{3(\frac{2}{3})}{-2} = \frac{2}{-2} = -1$

Ответ: -1

б)

Требуется вычислить значение выражения $x_1^3 + x_2^3$, где $x_1$ и $x_2$ — корни квадратного уравнения $x^2 + x - 5 = 0$.

Снова воспользуемся теоремой Виета. Для уравнения $x^2 + x - 5 = 0$ коэффициенты равны: $a = 1$, $b = 1$, $c = -5$.

Найдем сумму и произведение корней:

$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{1}{1} = -1$

$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-5}{1} = -5$

Теперь преобразуем выражение $x_1^3 + x_2^3$. Для этого используем формулу суммы кубов, выраженную через сумму и произведение:

$x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)(x_1^2 - x_1x_2 + x_2^2)$

Выражение $x_1^2 + x_2^2$ можно также выразить через сумму и произведение: $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$.

Тогда $x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)((x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 - x_1x_2) = (x_1 + x_2)((x_1 + x_2)^2 - 3x_1x_2)$.

Также можно использовать более компактную формулу: $x_1^3 + x_2^3 = (x_1+x_2)^3 - 3x_1x_2(x_1+x_2)$.

Подставим найденные значения $x_1 + x_2 = -1$ и $x_1 \cdot x_2 = -5$ в эту формулу:

$x_1^3 + x_2^3 = (-1)^3 - 3(-5)(-1) = -1 - (15) = -1 - 15 = -16$

Ответ: -16