Номер 104, страница 232, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Итоговое повторение. Часть 2 - номер 104, страница 232.

Условие.

104 a) $ \frac{4a}{a^2 - 1} + \frac{a - 1}{a + 1}; $

б) $ \frac{2b - 5}{b^2 - 5b} + \frac{1}{5 - b}; $

в) $ \frac{12x}{x^2 - 9} + \frac{x - 3}{x + 3}; $

г) $ \frac{m + 2}{3m^2 - 3m} - \frac{1}{m - 1}. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) $\frac{4a}{a^2 - 1} + \frac{a - 1}{a + 1}$

Чтобы сложить дроби, их нужно привести к общему знаменателю. Сначала разложим знаменатель первой дроби на множители по формуле разности квадратов: $a^2 - 1 = (a - 1)(a + 1)$.

$\frac{4a}{(a - 1)(a + 1)} + \frac{a - 1}{a + 1}$

Общий знаменатель для этих дробей - это $(a - 1)(a + 1)$. Домножим числитель и знаменатель второй дроби на дополнительный множитель $(a - 1)$:

$\frac{4a}{(a - 1)(a + 1)} + \frac{(a - 1)(a - 1)}{(a + 1)(a - 1)} = \frac{4a + (a - 1)^2}{(a - 1)(a + 1)}$

Теперь раскроем скобки в числителе, используя формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:

$\frac{4a + a^2 - 2a + 1}{(a - 1)(a + 1)} = \frac{a^2 + 2a + 1}{(a - 1)(a + 1)}$

Выражение в числителе является полным квадратом. Свернем его по формуле квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$:

$\frac{(a + 1)^2}{(a - 1)(a + 1)}$

Сократим дробь на общий множитель $(a + 1)$:

$\frac{a + 1}{a - 1}$

Ответ: $\frac{a + 1}{a - 1}$

б) $\frac{2b - 5}{b^2 - 5b} + \frac{1}{5 - b}$

Разложим на множители знаменатель первой дроби, вынеся общий множитель $b$ за скобки: $b^2 - 5b = b(b - 5)$.

$\frac{2b - 5}{b(b - 5)} + \frac{1}{5 - b}$

Заметим, что знаменатель второй дроби $5 - b$ можно представить как $-(b - 5)$. Вынесем минус из знаменателя и поменяем знак перед дробью:

$\frac{2b - 5}{b(b - 5)} - \frac{1}{b - 5}$

Теперь приведем дроби к общему знаменателю $b(b - 5)$. Дополнительный множитель для второй дроби - $b$.

$\frac{2b - 5}{b(b - 5)} - \frac{1 \cdot b}{(b - 5) \cdot b} = \frac{2b - 5 - b}{b(b - 5)}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{b - 5}{b(b - 5)}$

Сократим дробь на общий множитель $(b - 5)$:

$\frac{1}{b}$

Ответ: $\frac{1}{b}$

в) $\frac{12x}{x^2 - 9} + \frac{x - 3}{x + 3}$

Разложим знаменатель первой дроби по формуле разности квадратов: $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$.

$\frac{12x}{(x - 3)(x + 3)} + \frac{x - 3}{x + 3}$

Общий знаменатель - $(x - 3)(x + 3)$. Дополнительный множитель для второй дроби - $(x - 3)$.

$\frac{12x}{(x - 3)(x + 3)} + \frac{(x - 3)(x - 3)}{(x + 3)(x - 3)} = \frac{12x + (x - 3)^2}{(x - 3)(x + 3)}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{12x + x^2 - 6x + 9}{(x - 3)(x + 3)} = \frac{x^2 + 6x + 9}{(x - 3)(x + 3)}$

Свернем числитель по формуле квадрата суммы:

$\frac{(x + 3)^2}{(x - 3)(x + 3)}$

Сократим дробь на $(x + 3)$:

$\frac{x + 3}{x - 3}$

Ответ: $\frac{x + 3}{x - 3}$

г) $\frac{m + 2}{3m^2 - 3m} - \frac{1}{m - 1}$

Разложим на множители знаменатель первой дроби, вынеся за скобки $3m$: $3m^2 - 3m = 3m(m - 1)$.

$\frac{m + 2}{3m(m - 1)} - \frac{1}{m - 1}$

Общий знаменатель - $3m(m - 1)$. Дополнительный множитель для второй дроби - $3m$.

$\frac{m + 2}{3m(m - 1)} - \frac{1 \cdot 3m}{(m - 1) \cdot 3m} = \frac{m + 2 - 3m}{3m(m - 1)}$

Упростим числитель:

$\frac{2 - 2m}{3m(m - 1)}$

В числителе вынесем общий множитель 2 за скобки:

$\frac{2(1 - m)}{3m(m - 1)}$

Чтобы можно было сократить дробь, в числителе вынесем -1 за скобки: $1 - m = -(m - 1)$.

$\frac{-2(m - 1)}{3m(m - 1)}$

Сократим дробь на общий множитель $(m - 1)$:

$-\frac{2}{3m}$

Ответ: $-\frac{2}{3m}$