Номер 106, страница 232, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Итоговое повторение. Часть 2 - номер 106, страница 232.

Условие.

106 a) $(5a - b)^2 \cdot \frac{5b}{25a^2 - b^2};$

б) $\frac{4ax + 4a^2 + x^2}{3x} : (2a^2 + ax);$

в) $\frac{8b}{b^2 - 16} \cdot (b^2 - 8b + 16);$

г) $(3xy - y^2) : \frac{y^2 - 9x^2}{3y}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а)

Чтобы упростить выражение $(5a - b)^2 \cdot \frac{5b}{25a^2 - b^2}$, сначала разложим знаменатель дроби на множители, используя формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.

$25a^2 - b^2 = (5a)^2 - b^2 = (5a - b)(5a + b)$

Теперь подставим разложенный знаменатель обратно в исходное выражение:

$(5a - b)^2 \cdot \frac{5b}{(5a - b)(5a + b)}$

Представим $(5a - b)^2$ как дробь $\frac{(5a - b)^2}{1}$ и выполним умножение:

$\frac{(5a - b)^2 \cdot 5b}{(5a - b)(5a + b)}$

Сократим дробь на общий множитель $(5a - b)$:

$\frac{(5a - b) \cdot 5b}{5a + b} = \frac{5b(5a - b)}{5a + b}$

Ответ: $\frac{5b(5a - b)}{5a + b}$

б)

Рассмотрим выражение $\frac{4ax + 4a^2 + x^2}{3x} : (2a^2 + ax)$.

Сначала упростим числитель первой дроби. Переставим слагаемые: $x^2 + 4ax + 4a^2$. Это полный квадрат суммы, который можно свернуть по формуле $(p + q)^2 = p^2 + 2pq + q^2$. В нашем случае $p=x$ и $q=2a$.

$x^2 + 4ax + 4a^2 = (x + 2a)^2$

Теперь упростим выражение, на которое мы делим. Вынесем общий множитель $a$ за скобки:

$2a^2 + ax = a(2a + x)$

Перепишем исходное выражение с упрощенными частями:

$\frac{(x + 2a)^2}{3x} : a(2a + x)$

Деление на выражение равносильно умножению на обратное ему. Заменим деление на умножение:

$\frac{(x + 2a)^2}{3x} \cdot \frac{1}{a(2a + x)} = \frac{(x + 2a)^2}{3x \cdot a(2a + x)}$

Сократим дробь на общий множитель $(x + 2a)$:

$\frac{x + 2a}{3ax}$

Ответ: $\frac{x + 2a}{3ax}$

в)

Упростим выражение $\frac{8b}{b^2 - 16} \cdot (b^2 - 8b + 16)$.

Разложим на множители знаменатель первой дроби по формуле разности квадратов:

$b^2 - 16 = b^2 - 4^2 = (b - 4)(b + 4)$

Разложим на множители второй сомножитель. Выражение $b^2 - 8b + 16$ является полным квадратом разности и сворачивается по формуле $(p - q)^2 = p^2 - 2pq + q^2$. В нашем случае $p=b$ и $q=4$.

$b^2 - 8b + 16 = (b - 4)^2$

Подставим разложенные выражения в исходный пример:

$\frac{8b}{(b - 4)(b + 4)} \cdot (b - 4)^2 = \frac{8b \cdot (b - 4)^2}{(b - 4)(b + 4)}$

Сократим дробь на общий множитель $(b - 4)$:

$\frac{8b(b - 4)}{b + 4}$

Ответ: $\frac{8b(b - 4)}{b + 4}$

г)

Рассмотрим выражение $(3xy - y^2) : \frac{y^2 - 9x^2}{3y}$.

Сначала упростим делимое, вынеся общий множитель $y$ за скобки:

$3xy - y^2 = y(3x - y)$

Теперь упростим числитель дроби-делителя, используя формулу разности квадратов:

$y^2 - 9x^2 = y^2 - (3x)^2 = (y - 3x)(y + 3x)$

Перепишем исходное выражение с упрощенными частями:

$y(3x - y) : \frac{(y - 3x)(y + 3x)}{3y}$

Заменим деление на умножение на обратную дробь:

$y(3x - y) \cdot \frac{3y}{(y - 3x)(y + 3x)} = \frac{y(3x - y) \cdot 3y}{(y - 3x)(y + 3x)}$

Заметим, что $(3x - y) = -(y - 3x)$. Подставим это в выражение:

$\frac{y \cdot (-(y - 3x)) \cdot 3y}{(y - 3x)(y + 3x)} = \frac{-3y^2(y - 3x)}{(y - 3x)(y + 3x)}$

Сократим дробь на общий множитель $(y - 3x)$:

$\frac{-3y^2}{y + 3x} = -\frac{3y^2}{y + 3x}$

Ответ: $-\frac{3y^2}{y + 3x}$