Номер 109, страница 233, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 2. Итоговое повторение - номер 109, страница 233.

Условие.

109. a) $ \left(\frac{1}{2 - 4m} + \frac{m + 1}{8m^3 - 1} \cdot \frac{4m^2 + 2m + 1}{1 + 2m}\right) : \frac{1}{4m - 2}; $

б) $ \frac{2 + 6p}{p} \cdot \left(\frac{1}{2 - 6p} + \frac{1}{27p^3 - 1} : \frac{1 + 3p}{1 + 3p + 9p^2}\right). $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) $(\frac{1}{2-4m} + \frac{m+1}{8m^3 - 1} \cdot \frac{4m^2 + 2m + 1}{1+2m}) : \frac{1}{4m-2}$

Решим выражение по действиям, соблюдая порядок их выполнения.

1. Первым действием выполним умножение дробей в скобках. Для этого разложим знаменатель $8m^3 - 1$ на множители, используя формулу разности кубов $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$:

$8m^3 - 1 = (2m)^3 - 1^3 = (2m-1)(4m^2+2m+1)$

Теперь выполним умножение и сократим одинаковые множители:

$\frac{m+1}{8m^3 - 1} \cdot \frac{4m^2 + 2m + 1}{1+2m} = \frac{m+1}{(2m-1)(4m^2+2m+1)} \cdot \frac{4m^2+2m+1}{2m+1} = \frac{m+1}{(2m-1)(2m+1)}$

2. Вторым действием выполним сложение в скобках. Преобразуем знаменатель первой дроби:

$\frac{1}{2-4m} = \frac{1}{2(1-2m)} = -\frac{1}{2(2m-1)}$

Теперь сложим полученные дроби, приведя их к общему знаменателю $2(2m-1)(2m+1)$:

$\frac{1}{2-4m} + \frac{m+1}{(2m-1)(2m+1)} = -\frac{1}{2(2m-1)} + \frac{m+1}{(2m-1)(2m+1)} = \frac{-(2m+1) + 2(m+1)}{2(2m-1)(2m+1)} = \frac{-2m-1+2m+2}{2(2m-1)(2m+1)} = \frac{1}{2(2m-1)(2m+1)}$

3. Третьим действием выполним деление. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь. Преобразуем делитель:

$\frac{1}{4m-2} = \frac{1}{2(2m-1)}$

Теперь выполним деление:

$\frac{1}{2(2m-1)(2m+1)} : \frac{1}{2(2m-1)} = \frac{1}{2(2m-1)(2m+1)} \cdot \frac{2(2m-1)}{1} = \frac{2(2m-1)}{2(2m-1)(2m+1)} = \frac{1}{2m+1}$

Ответ: $\frac{1}{2m+1}$

б) $\frac{2+6p}{p} \cdot (\frac{1}{2-6p} + \frac{1}{27p^3-1} : \frac{1+3p}{1+3p+9p^2})$

Решим выражение по действиям, соблюдая порядок их выполнения.

1. Первым действием выполним деление в скобках. Разложим знаменатель $27p^3 - 1$ по формуле разности кубов:

$27p^3 - 1 = (3p)^3 - 1^3 = (3p-1)(9p^2+3p+1)$

Теперь выполним деление, заменив его умножением на обратную дробь:

$\frac{1}{27p^3-1} : \frac{1+3p}{1+3p+9p^2} = \frac{1}{(3p-1)(9p^2+3p+1)} \cdot \frac{1+3p+9p^2}{1+3p} = \frac{1}{(3p-1)(3p+1)}$

2. Вторым действием выполним сложение в скобках. Преобразуем знаменатель первой дроби:

$\frac{1}{2-6p} = \frac{1}{2(1-3p)} = -\frac{1}{2(3p-1)}$

Приведем дроби к общему знаменателю $2(3p-1)(3p+1)$ и сложим их:

$-\frac{1}{2(3p-1)} + \frac{1}{(3p-1)(3p+1)} = \frac{-(3p+1) + 2 \cdot 1}{2(3p-1)(3p+1)} = \frac{-3p-1+2}{2(3p-1)(3p+1)} = \frac{1-3p}{2(3p-1)(3p+1)} = \frac{-(3p-1)}{2(3p-1)(3p+1)} = -\frac{1}{2(3p+1)}$

3. Третьим действием выполним умножение. Преобразуем первый множитель:

$\frac{2+6p}{p} = \frac{2(1+3p)}{p} = \frac{2(3p+1)}{p}$

Теперь выполним умножение:

$\frac{2(3p+1)}{p} \cdot \left(-\frac{1}{2(3p+1)}\right) = -\frac{2(3p+1)}{p \cdot 2(3p+1)} = -\frac{1}{p}$

Ответ: $-\frac{1}{p}$