Номер 115, страница 234, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Итоговое повторение. Часть 2 - номер 115, страница 234.

Условие.

115 Туристы, совершая путешествие, проплыли на лодке по течению горной реки 54 км, а затем ещё 6 км по озеру за такое же время, за которое плот проплывает по этой реке 21 км. Найдите скорость течения реки, если собственная скорость лодки 12 км/ч.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Пусть скорость течения реки равна $x$ км/ч.

Скорость лодки по течению реки составляет $(12 + x)$ км/ч. Скорость лодки в озере, где нет течения, равна её собственной скорости, то есть 12 км/ч. Плот движется со скоростью течения, поэтому его скорость равна $x$ км/ч.

Время, затраченное туристами на путь по реке, равно $\frac{54}{12 + x}$ часа.

Время, затраченное туристами на путь по озеру, равно $\frac{6}{12} = \frac{1}{2}$ часа.

Общее время, которое туристы были в пути на лодке, составляет $t_{лодки} = \frac{54}{12 + x} + \frac{1}{2}$ часа.

Время, за которое плот проплыл 21 км, составляет $t_{плота} = \frac{21}{x}$ часа.

Согласно условию задачи, время движения лодки равно времени движения плота ($t_{лодки} = t_{плота}$). Составим и решим уравнение:

$\frac{54}{12 + x} + \frac{1}{2} = \frac{21}{x}$

Для решения этого уравнения, перенесем все члены в одну сторону и приведем их к общему знаменателю $2x(12+x)$. Область допустимых значений: $x > 0$.

$\frac{54 \cdot 2x + 1 \cdot x(12+x) - 21 \cdot 2(12+x)}{2x(12+x)} = 0$

$108x + 12x + x^2 - 42(12+x) = 0$

$120x + x^2 - 504 - 42x = 0$

Приведем подобные члены, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 78x - 504 = 0$

Решим уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 78^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-504) = 6084 + 2016 = 8100$

$\sqrt{D} = \sqrt{8100} = 90$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-78 + 90}{2 \cdot 1} = \frac{12}{2} = 6$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-78 - 90}{2 \cdot 1} = \frac{-168}{2} = -84$

Так как скорость течения реки не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -84$ не является решением задачи. Следовательно, скорость течения реки составляет 6 км/ч.

Ответ: 6 км/ч.