Номер 117, страница 234, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Итоговое повторение. Часть 2 - номер 117, страница 234.

Условие.

117 Велосипедист проехал от города до поворота на турбазу $24 \text{ км}$ с одной скоростью, а после поворота снизил скорость на $3 \text{ км/ч}$ и проехал до турбазы ещё $6 \text{ км}$. Найдите скорость велосипедиста от города до поворота, если на весь путь он затратил $2 \text{ ч } 40 \text{ мин}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Пусть $v$ км/ч — скорость велосипедиста от города до поворота. Тогда его скорость после поворота на турбазу составила $(v-3)$ км/ч.

Время, затраченное на первый участок пути (от города до поворота), равно $t_1 = \frac{S_1}{v_1} = \frac{24}{v}$ часов.

Время, затраченное на второй участок пути (от поворота до турбазы), равно $t_2 = \frac{S_2}{v_2} = \frac{6}{v-3}$ часов.

Общее время, затраченное на весь путь, составляет 2 ч 40 мин. Переведем это время в часы:$2$ ч $40$ мин = $2 + \frac{40}{60}$ ч = $2 + \frac{2}{3}$ ч = $\frac{8}{3}$ ч.

Общее время равно сумме времен на каждом участке: $t_1 + t_2$. Составим уравнение:$\frac{24}{v} + \frac{6}{v-3} = \frac{8}{3}$

Для решения уравнения сначала разделим все его части на 2, чтобы упростить коэффициенты:$\frac{12}{v} + \frac{3}{v-3} = \frac{4}{3}$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $v(v-3)$:$\frac{12(v-3) + 3v}{v(v-3)} = \frac{4}{3}$

$\frac{12v - 36 + 3v}{v^2 - 3v} = \frac{4}{3}$

$\frac{15v - 36}{v^2 - 3v} = \frac{4}{3}$

Используем свойство пропорции (перекрестное умножение):$3(15v - 36) = 4(v^2 - 3v)$

$45v - 108 = 4v^2 - 12v$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:$4v^2 - 12v - 45v + 108 = 0$

$4v^2 - 57v + 108 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$:$D = b^2 - 4ac = (-57)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 108 = 3249 - 1728 = 1521$

Найдем корни уравнения:$v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{57 \pm \sqrt{1521}}{2 \cdot 4} = \frac{57 \pm 39}{8}$

$v_1 = \frac{57 + 39}{8} = \frac{96}{8} = 12$

$v_2 = \frac{57 - 39}{8} = \frac{18}{8} = 2.25$

По условию задачи, на втором участке велосипедист снизил скорость на 3 км/ч. Это означает, что его начальная скорость $v$ должна быть больше 3 км/ч (иначе скорость на втором участке $(v-3)$ будет отрицательной или нулевой, что физически невозможно).

Корень $v_2 = 2.25$ не удовлетворяет условию $v > 3$, поэтому он является посторонним.

Корень $v_1 = 12$ удовлетворяет условию $v > 3$. Следовательно, скорость велосипедиста от города до поворота равна 12 км/ч.

Ответ: 12 км/ч.