Номер 123, страница 235, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Итоговое повторение. Часть 2 - номер 123, страница 235.

Условие.

123 а) $\frac{5^{-4} \cdot 15^6}{(3^{-5})^{-2}}$;

б) $\frac{4^3 \cdot 14^{-3}}{7^{-5} \cdot 2^7}$;

в) $\frac{3^5 \cdot 6^{-6}}{(2^3)^{-4}}$;

г) $\frac{8^{-3} \cdot 10^5}{5^6 \cdot 2^{-2}}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) Для решения примера $\frac{5^{-4} \cdot 15^6}{(3^{-5})^{-2}}$ воспользуемся свойствами степеней. Сначала упростим знаменатель, используя правило $(a^m)^n = a^{mn}$: $(3^{-5})^{-2} = 3^{(-5) \cdot (-2)} = 3^{10}$. Затем представим число $15$ в числителе как произведение простых множителей $3 \cdot 5$ и применим правило $(ab)^n = a^n b^n$: $15^6 = (3 \cdot 5)^6 = 3^6 \cdot 5^6$. Исходное выражение примет вид: $\frac{5^{-4} \cdot 3^6 \cdot 5^6}{3^{10}}$. Теперь сгруппируем степени с одинаковыми основаниями, используя правило $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ для числителя: $5^{-4} \cdot 5^6 = 5^{-4+6} = 5^2$. Выражение станет $\frac{5^2 \cdot 3^6}{3^{10}}$. Применим правило деления степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$: $\frac{3^6}{3^{10}} = 3^{6-10} = 3^{-4}$. В результате получаем $5^2 \cdot 3^{-4} = \frac{5^2}{3^4} = \frac{25}{81}$. Ответ: $\frac{25}{81}$.

б) Рассмотрим выражение $\frac{4^3 \cdot 14^{-3}}{7^{-5} \cdot 2^7}$. Для упрощения представим основания $4$ и $14$ в виде произведения простых множителей: $4 = 2^2$ и $14 = 2 \cdot 7$. Тогда $4^3 = (2^2)^3 = 2^6$ и $14^{-3} = (2 \cdot 7)^{-3} = 2^{-3} \cdot 7^{-3}$. Подставим эти значения в исходное выражение: $\frac{2^6 \cdot 2^{-3} \cdot 7^{-3}}{7^{-5} \cdot 2^7}$. Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями. В числителе $2^6 \cdot 2^{-3} = 2^{6-3} = 2^3$. Получаем $\frac{2^3 \cdot 7^{-3}}{7^{-5} \cdot 2^7}$. Теперь разделим степени с одинаковыми основаниями: $\frac{2^3}{2^7} = 2^{3-7} = 2^{-4}$ и $\frac{7^{-3}}{7^{-5}} = 7^{-3 - (-5)} = 7^{-3+5} = 7^2$. Итоговый результат: $2^{-4} \cdot 7^2 = \frac{7^2}{2^4} = \frac{49}{16}$. Ответ: $\frac{49}{16}$.

в) Упростим выражение $\frac{3^5 \cdot 6^{-6}}{(2^3)^{-4}}$. В знаменателе используем свойство $(a^m)^n = a^{mn}$: $(2^3)^{-4} = 2^{3 \cdot (-4)} = 2^{-12}$. В числителе представим $6$ как $2 \cdot 3$, тогда $6^{-6} = (2 \cdot 3)^{-6} = 2^{-6} \cdot 3^{-6}$. Выражение примет вид: $\frac{3^5 \cdot 2^{-6} \cdot 3^{-6}}{2^{-12}}$. В числителе перемножим степени с основанием $3$: $3^5 \cdot 3^{-6} = 3^{5-6} = 3^{-1}$. Получим $\frac{3^{-1} \cdot 2^{-6}}{2^{-12}}$. Теперь разделим степени с основанием $2$: $\frac{2^{-6}}{2^{-12}} = 2^{-6 - (-12)} = 2^{-6+12} = 2^6$. В результате имеем $3^{-1} \cdot 2^6 = \frac{1}{3} \cdot 64 = \frac{64}{3}$. Ответ: $\frac{64}{3}$.

г) Решим пример $\frac{8^{-3} \cdot 10^5}{5^6 \cdot 2^{-2}}$. Представим основания $8$ и $10$ через простые множители: $8 = 2^3$ и $10 = 2 \cdot 5$. Тогда $8^{-3} = (2^3)^{-3} = 2^{-9}$ и $10^5 = (2 \cdot 5)^5 = 2^5 \cdot 5^5$. Подставим в исходное выражение: $\frac{2^{-9} \cdot 2^5 \cdot 5^5}{5^6 \cdot 2^{-2}}$. Упростим числитель, перемножив степени с основанием $2$: $2^{-9} \cdot 2^5 = 2^{-9+5} = 2^{-4}$. Выражение станет $\frac{2^{-4} \cdot 5^5}{5^6 \cdot 2^{-2}}$. Теперь сгруппируем и разделим степени с одинаковыми основаниями: $\frac{2^{-4}}{2^{-2}} = 2^{-4 - (-2)} = 2^{-4+2} = 2^{-2}$ и $\frac{5^5}{5^6} = 5^{5-6} = 5^{-1}$. Итоговый результат равен произведению $2^{-2} \cdot 5^{-1} = \frac{1}{2^2} \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{4 \cdot 5} = \frac{1}{20}$. Ответ: $\frac{1}{20}$.