Номер 128, страница 235, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Итоговое повторение. Часть 2 - номер 128, страница 235.

Условие.

128 a) $\sqrt{x} = 2 - x$;

б) $\sqrt{7 - x} = x - 1$;

в) $\sqrt{x + 2} = x$;

г) $\sqrt{12 - x} = x$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) $\sqrt{x} = 2 - x$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ).
Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x \ge 0$.
Арифметический квадратный корень также должен быть неотрицательным, поэтому правая часть уравнения должна быть неотрицательной: $2 - x \ge 0$, откуда $x \le 2$.
Таким образом, ОДЗ: $0 \le x \le 2$.

2. Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:
$(\sqrt{x})^2 = (2 - x)^2$
$x = 4 - 4x + x^2$

3. Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:
$x^2 - 4x - x + 4 = 0$
$x^2 - 5x + 4 = 0$

4. Решим квадратное уравнение. По теореме Виета:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = 5$
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = 4$
Корни уравнения: $x_1 = 1$, $x_2 = 4$.

5. Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($0 \le x \le 2$).
Корень $x_1 = 1$ удовлетворяет условию $0 \le 1 \le 2$.
Корень $x_2 = 4$ не удовлетворяет условию, так как $4 > 2$. Это посторонний корень.
Выполним проверку для $x=1$ подстановкой в исходное уравнение:
$\sqrt{1} = 2 - 1$
$1 = 1$. Верно.

Ответ: $1$

б) $\sqrt{7 - x} = x - 1$

1. Найдем ОДЗ.
Подкоренное выражение: $7 - x \ge 0 \implies x \le 7$.
Правая часть уравнения: $x - 1 \ge 0 \implies x \ge 1$.
ОДЗ: $1 \le x \le 7$.

2. Возведем обе части в квадрат:
$(\sqrt{7 - x})^2 = (x - 1)^2$
$7 - x = x^2 - 2x + 1$

3. Приведем к стандартному виду:
$x^2 - 2x + x + 1 - 7 = 0$
$x^2 - x - 6 = 0$

4. Решим квадратное уравнение. По теореме Виета:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = 1$
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = -6$
Корни уравнения: $x_1 = 3$, $x_2 = -2$.

5. Проверим корни на соответствие ОДЗ ($1 \le x \le 7$).
Корень $x_1 = 3$ удовлетворяет условию $1 \le 3 \le 7$.
Корень $x_2 = -2$ не удовлетворяет условию, так как $-2 < 1$. Это посторонний корень.
Проверка для $x=3$:
$\sqrt{7 - 3} = 3 - 1$
$\sqrt{4} = 2$
$2 = 2$. Верно.

Ответ: $3$

в) $\sqrt{x + 2} = x$

1. Найдем ОДЗ.
Подкоренное выражение: $x + 2 \ge 0 \implies x \ge -2$.
Правая часть уравнения: $x \ge 0$.
ОДЗ: $x \ge 0$.

2. Возведем обе части в квадрат:
$(\sqrt{x + 2})^2 = x^2$
$x + 2 = x^2$

3. Приведем к стандартному виду:
$x^2 - x - 2 = 0$

4. Решим квадратное уравнение. По теореме Виета:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = 1$
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = -2$
Корни уравнения: $x_1 = 2$, $x_2 = -1$.

5. Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 0$).
Корень $x_1 = 2$ удовлетворяет условию $2 \ge 0$.
Корень $x_2 = -1$ не удовлетворяет условию, так как $-1 < 0$. Это посторонний корень.
Проверка для $x=2$:
$\sqrt{2 + 2} = 2$
$\sqrt{4} = 2$
$2 = 2$. Верно.

Ответ: $2$

г) $\sqrt{12 - x} = x$

1. Найдем ОДЗ.
Подкоренное выражение: $12 - x \ge 0 \implies x \le 12$.
Правая часть уравнения: $x \ge 0$.
ОДЗ: $0 \le x \le 12$.

2. Возведем обе части в квадрат:
$(\sqrt{12 - x})^2 = x^2$
$12 - x = x^2$

3. Приведем к стандартному виду:
$x^2 + x - 12 = 0$

4. Решим квадратное уравнение. По теореме Виета:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -1$
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = -12$
Корни уравнения: $x_1 = 3$, $x_2 = -4$.

5. Проверим корни на соответствие ОДЗ ($0 \le x \le 12$).
Корень $x_1 = 3$ удовлетворяет условию $0 \le 3 \le 12$.
Корень $x_2 = -4$ не удовлетворяет условию, так как $-4 < 0$. Это посторонний корень.
Проверка для $x=3$:
$\sqrt{12 - 3} = 3$
$\sqrt{9} = 3$
$3 = 3$. Верно.

Ответ: $3$