Номер 133, страница 236, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Итоговое повторение. Часть 2 - номер 133, страница 236.

Условие.

133 a) $10\sqrt{x^2 - x - 1} - \frac{3}{\sqrt{x^2 - x - 1}} = 7;$

б) $2\sqrt{x^2 - 9x + 23} - 5 = \frac{3}{\sqrt{x^2 - 9x + 23}}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) $10\sqrt{x^2 - x - 1} - \frac{3}{\sqrt{x^2 - x - 1}} = 7$

Данное уравнение является иррациональным. Для его решения сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным. Кроме того, так как это выражение находится в знаменателе, оно не может быть равно нулю. Следовательно, подкоренное выражение должно быть строго положительным:

$$x^2 - x - 1 > 0$$

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - x - 1 = 0$ с помощью формулы для корней квадратного уравнения:

$$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 1 + 4 = 5$$

$$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$$

Поскольку парабола $y = x^2 - x - 1$ имеет ветви, направленные вверх, неравенство $x^2 - x - 1 > 0$ выполняется, когда $x$ находится за пределами корней. Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty, \frac{1-\sqrt{5}}{2}) \cup (\frac{1+\sqrt{5}}{2}, +\infty)$.

Для упрощения уравнения введем замену. Пусть $t = \sqrt{x^2 - x - 1}$. Из ОДЗ следует, что $t > 0$. После замены уравнение принимает вид:

$$10t - \frac{3}{t} = 7$$

Умножим обе части уравнения на $t$ (это возможно, так как $t \ne 0$):

$$10t^2 - 3 = 7t$$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$$10t^2 - 7t - 3 = 0$$

Решим это уравнение относительно $t$:

$$D = (-7)^2 - 4 \cdot 10 \cdot (-3) = 49 + 120 = 169 = 13^2$$

$$t_1 = \frac{7 + 13}{2 \cdot 10} = \frac{20}{20} = 1$$

$$t_2 = \frac{7 - 13}{2 \cdot 10} = \frac{-6}{20} = -0.3$$

Согласно условию замены $t > 0$, корень $t_2 = -0.3$ является посторонним. Используем только $t_1 = 1$.

Выполним обратную замену:

$$\sqrt{x^2 - x - 1} = 1$$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$$x^2 - x - 1 = 1$$

$$x^2 - x - 2 = 0$$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $1$, а их произведение равно $-2$. Этим условиям удовлетворяют корни $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.

Проверим, входят ли найденные значения в ОДЗ.
Для $x=2$: $2^2 - 2 - 1 = 4 - 3 = 1 > 0$. Корень подходит, так как $2 > \frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1.618$.
Для $x=-1$: $(-1)^2 - (-1) - 1 = 1 + 1 - 1 = 1 > 0$. Корень подходит, так как $-1 < \frac{1-\sqrt{5}}{2} \approx -0.618$.

Ответ: $-1; 2$.

б) $2\sqrt{x^2 - 9x + 23} - 5 = \frac{3}{\sqrt{x^2 - 9x + 23}}$

Определим ОДЗ. Выражение под корнем в знаменателе должно быть строго положительным:

$$x^2 - 9x + 23 > 0$$

Вычислим дискриминант квадратного трехчлена $x^2 - 9x + 23$:

$$D = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 23 = 81 - 92 = -11$$

Поскольку дискриминант отрицателен ($D < 0$), а старший коэффициент положителен (равен 1), квадратный трехчлен $x^2 - 9x + 23$ всегда принимает положительные значения. Следовательно, ОДЗ уравнения — все действительные числа, $x \in \mathbb{R}$.

Введем замену. Пусть $t = \sqrt{x^2 - 9x + 23}$. Так как значение арифметического квадратного корня не может быть отрицательным и подкоренное выражение строго положительно, то $t > 0$. Уравнение принимает вид:

$$2t - 5 = \frac{3}{t}$$

Умножим обе части на $t$ (где $t \ne 0$):

$$2t^2 - 5t = 3$$

Запишем в виде стандартного квадратного уравнения:

$$2t^2 - 5t - 3 = 0$$

Решим уравнение относительно $t$:

$$D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49 = 7^2$$

$$t_1 = \frac{5 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{12}{4} = 3$$

$$t_2 = \frac{5 - 7}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -0.5$$

Так как $t > 0$, корень $t_2 = -0.5$ не является решением. Остается $t_1 = 3$.

Выполним обратную замену:

$$\sqrt{x^2 - 9x + 23} = 3$$

Возведем обе части в квадрат:

$$x^2 - 9x + 23 = 9$$

$$x^2 - 9x + 14 = 0$$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $9$, а произведение равно $14$. Отсюда находим корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = 7$.

Поскольку ОДЗ — все действительные числа, оба корня являются решениями исходного уравнения.

Ответ: $2; 7$.