Номер 140, страница 237, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Итоговое повторение. Часть 2 - номер 140, страница 237.

Условие.

140 Решите уравнение:

a) $x^2 - 5(\sqrt{x})^2 - 6 = 0;$

б) $x^2 + \sqrt{(x + 1)^2} - 3 = 0;$

B) $x^2 + (\sqrt{x - 3})^2 - 9 = 0;$

г) $x^2 + \sqrt{(x - 3)^2} - 9 = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) $x^2 - 5(\sqrt{x})^2 - 6 = 0$
Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x \ge 0$.
Упростим уравнение, используя свойство $(\sqrt{a})^2 = a$ для $a \ge 0$:
$x^2 - 5x - 6 = 0$
Это квадратное уравнение. Решим его с помощью теоремы Виета:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = 5$
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = -6$
Подбором находим корни: $x_1 = 6$ и $x_2 = -1$.
Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 0$):
$x_1 = 6$ удовлетворяет условию $6 \ge 0$.
$x_2 = -1$ не удовлетворяет условию $-1 \ge 0$.
Следовательно, уравнение имеет один корень.
Ответ: $6$

б) $x^2 + \sqrt{(x + 1)^2} - 3 = 0$
Подкоренное выражение $(x+1)^2$ всегда неотрицательно, поэтому ОДЗ: $x$ — любое действительное число.
Упростим уравнение, используя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$:
$x^2 + |x+1| - 3 = 0$
Раскроем модуль, рассмотрев два случая:
1) Если $x+1 \ge 0$, то есть $x \ge -1$. Тогда $|x+1| = x+1$.
Уравнение принимает вид: $x^2 + (x+1) - 3 = 0$
$x^2 + x - 2 = 0$
По теореме Виета: $x_1 = 1$, $x_2 = -2$.
Корень $x_1 = 1$ удовлетворяет условию $x \ge -1$.
Корень $x_2 = -2$ не удовлетворяет условию $x \ge -1$.
2) Если $x+1 < 0$, то есть $x < -1$. Тогда $|x+1| = -(x+1) = -x-1$.
Уравнение принимает вид: $x^2 - (x+1) - 3 = 0$
$x^2 - x - 4 = 0$
Решим через дискриминант: $D = (-1)^2 - 4(1)(-4) = 1 + 16 = 17$.
$x_{3,4} = \frac{1 \pm \sqrt{17}}{2}$
Проверим корни на соответствие условию $x < -1$:
$x_3 = \frac{1 + \sqrt{17}}{2}$. Так как $\sqrt{17} > \sqrt{1} = 1$, то $1+\sqrt{17} > 2$, и $\frac{1 + \sqrt{17}}{2} > 1$, что не удовлетворяет условию $x < -1$.
$x_4 = \frac{1 - \sqrt{17}}{2}$. Так как $\sqrt{17} > \sqrt{9} = 3$, то $1-\sqrt{17} < -2$, и $\frac{1 - \sqrt{17}}{2} < -1$, что удовлетворяет условию.
Объединяя решения из обоих случаев, получаем два корня.
Ответ: $1; \frac{1 - \sqrt{17}}{2}$

в) $x^2 + (\sqrt{x - 3})^2 - 9 = 0$
ОДЗ: $x - 3 \ge 0 \Rightarrow x \ge 3$.
Упростим уравнение:
$x^2 + (x-3) - 9 = 0$
$x^2 + x - 12 = 0$
По теореме Виета:
$x_1 + x_2 = -1$
$x_1 \cdot x_2 = -12$
Корни: $x_1 = 3$, $x_2 = -4$.
Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 3$):
$x_1 = 3$ удовлетворяет условию $3 \ge 3$.
$x_2 = -4$ не удовлетворяет условию $-4 \ge 3$.
Уравнение имеет один корень.
Ответ: $3$

г) $x^2 + \sqrt{(x - 3)^2} - 9 = 0$
ОДЗ: $x$ — любое действительное число, так как $(x-3)^2 \ge 0$ всегда.
Упростим уравнение, используя $\sqrt{a^2} = |a|$:
$x^2 + |x-3| - 9 = 0$
Раскроем модуль, рассмотрев два случая:
1) Если $x-3 \ge 0$, то есть $x \ge 3$. Тогда $|x-3| = x-3$.
$x^2 + (x-3) - 9 = 0$
$x^2 + x - 12 = 0$
По теореме Виета, корни $x_1 = 3$, $x_2 = -4$.
Проверяем по условию $x \ge 3$: корень $x_1 = 3$ подходит, $x_2 = -4$ не подходит.
2) Если $x-3 < 0$, то есть $x < 3$. Тогда $|x-3| = -(x-3) = -x+3$.
$x^2 - (x-3) - 9 = 0$
$x^2 - x - 6 = 0$
По теореме Виета, корни $x_3 = 3$, $x_4 = -2$.
Проверяем по условию $x < 3$: корень $x_3 = 3$ не подходит ($3 \not< 3$), $x_4 = -2$ подходит.
Объединяя решения из обоих случаев, получаем два корня.
Ответ: $-2; 3$