Номер 138, страница 237, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Итоговое повторение. Часть 2 - номер 138, страница 237.

Условие.

138 Докажите, что при всех допустимых значениях переменной $x$ значение выражения не зависит от $x$:

а) $(\frac{3\sqrt{x} - x\sqrt{x}}{3-x} - 2)^{-1} : \frac{\sqrt{x}+2}{x-4}$;

б) $(\frac{x - 2\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2} + 1)^{-1} \cdot \frac{x-1}{\sqrt{x}-1}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а)

Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от $x$, нужно его упростить. Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$.

1. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x \ge 0$.
2. Знаменатели дробей не могут быть равны нулю: $3-x \ne 0 \Rightarrow x \ne 3$ и $x-4 \ne 0 \Rightarrow x \ne 4$.
3. Выражение, на которое производится деление, не должно равняться нулю. Числитель $\sqrt{x} + 2$ всегда больше нуля при $x \ge 0$, поэтому дробь $\frac{\sqrt{x} + 2}{x-4}$ не равна нулю, если ее знаменатель не равен нулю, что мы уже учли.
4. Основание степени с показателем $-1$ не должно быть равно нулю. Проверим это в ходе упрощения.

ОДЗ: $x \ge 0$, $x \ne 3$, $x \ne 4$.

Приступим к упрощению выражения $ \left( \frac{3\sqrt{x} - x\sqrt{x}}{3-x} - 2 \right)^{-1} : \frac{\sqrt{x} + 2}{x-4} $.

1. Упростим первую дробь в скобках, вынеся в числителе общий множитель $\sqrt{x}$ за скобки:
$ \frac{3\sqrt{x} - x\sqrt{x}}{3-x} = \frac{\sqrt{x}(3 - x)}{3-x} $
При $x \ne 3$ можно сократить дробь:
$ \frac{\sqrt{x}\cancel{(3 - x)}}{\cancel{3-x}} = \sqrt{x} $

2. Подставим результат в скобки:
$ (\sqrt{x} - 2) $

3. Теперь все выражение принимает вид:
$ (\sqrt{x} - 2)^{-1} : \frac{\sqrt{x} + 2}{x-4} $
Возводим в степень $-1$ (это равносильно нахождению обратного числа):
$ \frac{1}{\sqrt{x} - 2} : \frac{\sqrt{x} + 2}{x-4} $
Здесь возникает требование, чтобы знаменатель $\sqrt{x} - 2$ не был равен нулю, то есть $\sqrt{x} \ne 2$, что означает $x \ne 4$. Это условие уже входит в ОДЗ.

4. Заменим деление на умножение, перевернув вторую дробь:
$ \frac{1}{\sqrt{x} - 2} \cdot \frac{x-4}{\sqrt{x} + 2} $

5. Разложим числитель второй дроби $x-4$ по формуле разности квадратов: $x-4 = (\sqrt{x})^2 - 2^2 = (\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)$.
$ \frac{1}{\sqrt{x} - 2} \cdot \frac{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}{\sqrt{x} + 2} $

6. Сократим одинаковые множители. Так как $x \ne 4$, то $\sqrt{x}-2 \ne 0$. Множитель $\sqrt{x}+2$ всегда положителен.
$ \frac{1}{\cancel{\sqrt{x} - 2}} \cdot \frac{\cancel{(\sqrt{x}-2)}\cancel{(\sqrt{x}+2)}}{\cancel{\sqrt{x} + 2}} = 1 $

Полученное значение равно 1 и не зависит от $x$.

Ответ: 1

б)

Аналогично предыдущему пункту, сначала найдем ОДЗ, а затем упростим выражение.

1. Подкоренное выражение: $x \ge 0$.
2. Знаменатели дробей: $\sqrt{x}-2 \ne 0 \Rightarrow x \ne 4$ и $\sqrt{x}-1 \ne 0 \Rightarrow x \ne 1$.
3. Основание степени с показателем $-1$ не должно быть равно нулю.

ОДЗ: $x \ge 0$, $x \ne 1$, $x \ne 4$.

Упростим выражение $ \left( \frac{x - 2\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2} + 1 \right)^{-1} \cdot \frac{x-1}{\sqrt{x}-1} $.

1. Упростим дробь в скобках, вынеся в числителе $\sqrt{x}$ за скобки:
$ \frac{x - 2\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2} = \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)}{\sqrt{x}-2} $
При $x \ne 4$ сокращаем дробь:
$ \frac{\sqrt{x}\cancel{(\sqrt{x}-2)}}{\cancel{\sqrt{x}-2}} = \sqrt{x} $

2. Подставим результат в скобки:
$ (\sqrt{x} + 1) $

3. Выражение принимает вид:
$ (\sqrt{x} + 1)^{-1} \cdot \frac{x-1}{\sqrt{x}-1} $
Возведем в степень $-1$:
$ \frac{1}{\sqrt{x} + 1} \cdot \frac{x-1}{\sqrt{x}-1} $
Знаменатель $\sqrt{x} + 1$ не равен нулю при всех $x$ из ОДЗ.

4. Разложим числитель второй дроби $x-1$ по формуле разности квадратов: $x-1 = (\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)$.
$ \frac{1}{\sqrt{x} + 1} \cdot \frac{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}{\sqrt{x}-1} $

5. Сократим одинаковые множители. Так как $x \ne 1$, то $\sqrt{x}-1 \ne 0$.
$ \frac{1}{\cancel{\sqrt{x} + 1}} \cdot \frac{\cancel{(\sqrt{x}-1)}\cancel{(\sqrt{x}+1)}}{\cancel{\sqrt{x}-1}} = 1 $

Полученное значение равно 1 и не зависит от $x$.

Ответ: 1