Номер 131, страница 236, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 2. Итоговое повторение - номер 131, страница 236.

Условие.

Решите уравнение методом введения новой переменной:

131 a) $x^2 + 2x - 2\sqrt{x^2 + 2x} = 3;$

б) $x^2 + 6x + 24 = 10\sqrt{x^2 + 6x}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а)

Дано уравнение $x^2 + 2x - 2\sqrt{x^2 + 2x} = 3$.

Заметим, что выражение $x^2 + 2x$ встречается в уравнении дважды. Это позволяет нам использовать метод введения новой переменной. Пусть $t = \sqrt{x^2 + 2x}$.

Так как переменная $t$ обозначает арифметический квадратный корень, на нее накладывается ограничение: $t \ge 0$. Также должно выполняться условие $x^2+2x \ge 0$.

Если $t = \sqrt{x^2 + 2x}$, то $t^2 = (\sqrt{x^2 + 2x})^2 = x^2 + 2x$. Подставим новую переменную в исходное уравнение:

$t^2 - 2t = 3$

Перенесем все члены в левую часть и решим полученное квадратное уравнение:

$t^2 - 2t - 3 = 0$

Используем теорему Виета. Сумма корней равна $2$, а их произведение равно $-3$. Корни уравнения: $t_1 = 3$ и $t_2 = -1$.

Проверим корни на соответствие условию $t \ge 0$:

• $t_1 = 3$ удовлетворяет условию ($3 \ge 0$).
• $t_2 = -1$ не удовлетворяет условию ($-1 < 0$), поэтому это посторонний корень.

Выполним обратную замену для единственного подходящего корня $t = 3$:

$\sqrt{x^2 + 2x} = 3$

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

$x^2 + 2x = 9$

$x^2 + 2x - 9 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 4 + 36 = 40$.

$\sqrt{D} = \sqrt{40} = \sqrt{4 \cdot 10} = 2\sqrt{10}$.

Найдем корни $x$:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{10}}{2} = -1 \pm \sqrt{10}$.

Оба корня, $x_1 = -1 + \sqrt{10}$ и $x_2 = -1 - \sqrt{10}$, являются решениями, так как для них подкоренное выражение $x^2+2x$ равно 9, что является неотрицательным числом.

Ответ: $-1 - \sqrt{10}; -1 + \sqrt{10}$.

б)

Дано уравнение $x^2 + 6x + 24 = 10\sqrt{x^2 + 6x}$.

Выражение $x^2 + 6x$ является повторяющимся. Введем новую переменную: $t = \sqrt{x^2 + 6x}$.

Условие для новой переменной: $t \ge 0$. Также должно выполняться $x^2+6x \ge 0$.

Тогда $t^2 = x^2 + 6x$. Подставим $t$ в исходное уравнение, предварительно сгруппировав слагаемые:

$(x^2 + 6x) + 24 = 10\sqrt{x^2 + 6x}$

$t^2 + 24 = 10t$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$t^2 - 10t + 24 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна $10$, а их произведение равно $24$. Легко подобрать корни: $t_1 = 4$ и $t_2 = 6$.

Оба корня удовлетворяют условию $t \ge 0$, поэтому оба являются решениями.

Выполним обратную замену для каждого из найденных значений $t$.

Случай 1: $t = 4$.

$\sqrt{x^2 + 6x} = 4$

Возводим в квадрат:

$x^2 + 6x = 16$

$x^2 + 6x - 16 = 0$

По теореме Виета, $x_1 + x_2 = -6$ и $x_1 \cdot x_2 = -16$. Корни: $x_1 = 2$, $x_2 = -8$.

Случай 2: $t = 6$.

$\sqrt{x^2 + 6x} = 6$

Возводим в квадрат:

$x^2 + 6x = 36$

$x^2 + 6x - 36 = 0$

Решим через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 36 + 144 = 180$.

$\sqrt{D} = \sqrt{180} = \sqrt{36 \cdot 5} = 6\sqrt{5}$.

$x_{3,4} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 \pm 6\sqrt{5}}{2} = -3 \pm 3\sqrt{5}$.

Все четыре найденных корня ($2, -8, -3 + 3\sqrt{5}, -3 - 3\sqrt{5}$) являются решениями, так как для них подкоренное выражение $x^2+6x$ равно 16 или 36, что больше или равно нулю.

Ответ: $-8; 2; -3 - 3\sqrt{5}; -3 + 3\sqrt{5}$.