Номер 130, страница 236, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Итоговое повторение. Часть 2 - номер 130, страница 236.

Условие.

130 a) $\sqrt{2x^2 + 8x + 7} - 2 = x;$

б) $x + \sqrt{2x^2 - 7x + 5} = 1;$

в) $\sqrt{2x^2 + 8x + 1} - x = 3;$

г) $x + \sqrt{2x^2 - 8x + 1} = 3.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) $\sqrt{2x^2 + 8x + 7} - 2 = x$
Уединим корень в одной части уравнения, перенеся -2 в правую часть:
$\sqrt{2x^2 + 8x + 7} = x + 2$
Уравнение вида $\sqrt{f(x)} = g(x)$ равносильно системе, в которой правая часть неотрицательна (по определению арифметического корня), а подкоренные выражения равны после возведения в квадрат:
$\begin{cases} x + 2 \ge 0 \\ 2x^2 + 8x + 7 = (x+2)^2 \end{cases}$
Решим первое неравенство системы: $x \ge -2$.
Решим второе уравнение системы:
$2x^2 + 8x + 7 = x^2 + 4x + 4$
$x^2 + 4x + 3 = 0$
По теореме Виета, корни этого квадратного уравнения: $x_1 = -1$ и $x_2 = -3$.
Теперь отберем корни, удовлетворяющие условию $x \ge -2$.
Корень $x_1 = -1$ удовлетворяет условию, так как $-1 \ge -2$.
Корень $x_2 = -3$ не удовлетворяет условию, так как $-3 < -2$, и является посторонним.
Следовательно, у исходного уравнения один корень.
Ответ: -1.

б) $x + \sqrt{2x^2 - 7x + 5} = 1$
Уединим корень в одной части уравнения:
$\sqrt{2x^2 - 7x + 5} = 1 - x$
Уравнение равносильно системе:
$\begin{cases} 1 - x \ge 0 \\ 2x^2 - 7x + 5 = (1 - x)^2 \end{cases}$
Решим первое неравенство: $x \le 1$.
Решим второе уравнение:
$2x^2 - 7x + 5 = 1 - 2x + x^2$
$x^2 - 5x + 4 = 0$
По теореме Виета, корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 4$.
Отберем корни, удовлетворяющие условию $x \le 1$.
Корень $x_1 = 1$ удовлетворяет условию, так как $1 \le 1$.
Корень $x_2 = 4$ не удовлетворяет условию, так как $4 > 1$, и является посторонним.
Ответ: 1.

в) $\sqrt{2x^2 + 8x + 1} - x = 3$
Уединим корень:
$\sqrt{2x^2 + 8x + 1} = x + 3$
Уравнение равносильно системе:
$\begin{cases} x + 3 \ge 0 \\ 2x^2 + 8x + 1 = (x + 3)^2 \end{cases}$
Решим первое неравенство: $x \ge -3$.
Решим второе уравнение:
$2x^2 + 8x + 1 = x^2 + 6x + 9$
$x^2 + 2x - 8 = 0$
По теореме Виета, корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = -4$.
Отберем корни, удовлетворяющие условию $x \ge -3$.
Корень $x_1 = 2$ удовлетворяет условию, так как $2 \ge -3$.
Корень $x_2 = -4$ не удовлетворяет условию, так как $-4 < -3$, и является посторонним.
Ответ: 2.

г) $x + \sqrt{2x^2 - 8x + 1} = 3$
Уединим корень:
$\sqrt{2x^2 - 8x + 1} = 3 - x$
Уравнение равносильно системе:
$\begin{cases} 3 - x \ge 0 \\ 2x^2 - 8x + 1 = (3 - x)^2 \end{cases}$
Решим первое неравенство: $x \le 3$.
Решим второе уравнение:
$2x^2 - 8x + 1 = 9 - 6x + x^2$
$x^2 - 2x - 8 = 0$
По теореме Виета, корни: $x_1 = 4$ и $x_2 = -2$.
Отберем корни, удовлетворяющие условию $x \le 3$.
Корень $x_1 = 4$ не удовлетворяет условию, так как $4 > 3$, и является посторонним.
Корень $x_2 = -2$ удовлетворяет условию, так как $-2 \le 3$.
Ответ: -2.