Номер 129, страница 235, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Итоговое повторение. Часть 2 - номер 129, страница 235.

Условие.

129 a) $2\sqrt{x-1} - \sqrt{x+4} = 1;$

б) $\sqrt{x+3} - \sqrt{2x-1} = \sqrt{3x-2};$

в) $\sqrt{x+6} - 2\sqrt{x-2} = 1;$

г) $\sqrt{x+1} - \sqrt{x-2} = \sqrt{2x-5}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) $2\sqrt{x-1} - \sqrt{x+4} = 1$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под корнями должны быть неотрицательными:

$\begin{cases} x - 1 \ge 0 \\ x + 4 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 1 \\ x \ge -4 \end{cases}$

Пересечением этих условий является $x \ge 1$.

2. Перенесем один из корней в правую часть уравнения, чтобы избавиться от него возведением в квадрат:

$2\sqrt{x-1} = 1 + \sqrt{x+4}$

3. Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(2\sqrt{x-1})^2 = (1 + \sqrt{x+4})^2$

$4(x-1) = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{x+4} + (\sqrt{x+4})^2$

$4x - 4 = 1 + 2\sqrt{x+4} + x + 4$

4. Упростим уравнение и уединим оставшийся радикал:

$4x - 4 = x + 5 + 2\sqrt{x+4}$

$3x - 9 = 2\sqrt{x+4}$

5. Прежде чем снова возводить в квадрат, заметим, что левая часть должна быть неотрицательной, так как правая часть (арифметический корень) неотрицательна: $3x - 9 \ge 0$, что дает $3x \ge 9$, или $x \ge 3$. Объединяя это с ОДЗ ($x \ge 1$), получаем новое условие: $x \ge 3$.

6. Возведем обе части нового уравнения в квадрат:

$(3x - 9)^2 = (2\sqrt{x+4})^2$

$9x^2 - 54x + 81 = 4(x+4)$

$9x^2 - 54x + 81 = 4x + 16$

7. Решим получившееся квадратное уравнение:

$9x^2 - 58x + 65 = 0$

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-58)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 65 = 3364 - 2340 = 1024 = 32^2$.

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{58 + 32}{2 \cdot 9} = \frac{90}{18} = 5$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{58 - 32}{2 \cdot 9} = \frac{26}{18} = \frac{13}{9}$

8. Проверим корни на соответствие условию $x \ge 3$.

Корень $x_1 = 5$ удовлетворяет условию ($5 \ge 3$).

Корень $x_2 = \frac{13}{9} = 1\frac{4}{9}$ не удовлетворяет условию ($1\frac{4}{9} < 3$), следовательно, это посторонний корень.

9. Выполним проверку для $x=5$ в исходном уравнении:

$2\sqrt{5-1} - \sqrt{5+4} = 2\sqrt{4} - \sqrt{9} = 2 \cdot 2 - 3 = 4 - 3 = 1$.

$1=1$. Решение верно.

Ответ: 5.

б) $\sqrt{x+3} - \sqrt{2x-1} = \sqrt{3x-2}$

1. Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} x + 3 \ge 0 \\ 2x - 1 \ge 0 \\ 3x - 2 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -3 \\ x \ge 1/2 \\ x \ge 2/3 \end{cases}$

Пересечением этих условий является $x \ge 2/3$.

2. Также левая часть уравнения должна быть неотрицательной, так как она равна арифметическому корню: $\sqrt{x+3} - \sqrt{2x-1} \ge 0 \implies \sqrt{x+3} \ge \sqrt{2x-1}$. Возведя в квадрат обе части неравенства, получаем $x+3 \ge 2x-1 \implies 4 \ge x$. Таким образом, ОДЗ уточняется до $2/3 \le x \le 4$.

3. Возведем обе части исходного уравнения в квадрат:

$(\sqrt{x+3} - \sqrt{2x-1})^2 = (\sqrt{3x-2})^2$

$(x+3) - 2\sqrt{(x+3)(2x-1)} + (2x-1) = 3x-2$

4. Упростим уравнение:

$3x + 2 - 2\sqrt{2x^2 + 6x - x - 3} = 3x - 2$

$3x + 2 - 2\sqrt{2x^2 + 5x - 3} = 3x - 2$

$-2\sqrt{2x^2 + 5x - 3} = -4$

$\sqrt{2x^2 + 5x - 3} = 2$

5. Снова возведем обе части в квадрат:

$2x^2 + 5x - 3 = 4$

$2x^2 + 5x - 7 = 0$

6. Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-7) = 25 + 56 = 81 = 9^2$.

$x_1 = \frac{-5 + 9}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$

$x_2 = \frac{-5 - 9}{2 \cdot 2} = \frac{-14}{4} = -3.5$

7. Проверим корни на соответствие ОДЗ ($2/3 \le x \le 4$).

Корень $x_1=1$ удовлетворяет ОДЗ.

Корень $x_2=-3.5$ не удовлетворяет ОДЗ.

8. Проверка для $x=1$ в исходном уравнении: $\sqrt{1+3} - \sqrt{2 \cdot 1 - 1} = \sqrt{4} - \sqrt{1} = 2-1=1$. Правая часть: $\sqrt{3 \cdot 1 - 2} = \sqrt{1}=1$. $1=1$. Решение верно.

Ответ: 1.

в) $\sqrt{x+6} - 2\sqrt{x-2} = 1$

1. Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} x + 6 \ge 0 \\ x - 2 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -6 \\ x \ge 2 \end{cases}$

Пересечением является $x \ge 2$.

2. Перенесем член с корнем в правую часть:

$\sqrt{x+6} = 1 + 2\sqrt{x-2}$

3. Возведем обе части в квадрат:

$(\sqrt{x+6})^2 = (1 + 2\sqrt{x-2})^2$

$x+6 = 1 + 4\sqrt{x-2} + 4(x-2)$

$x+6 = 1 + 4\sqrt{x-2} + 4x - 8$

4. Упростим и уединим радикал:

$x+6 = 4x - 7 + 4\sqrt{x-2}$

$13 - 3x = 4\sqrt{x-2}$

5. Левая часть должна быть неотрицательной: $13 - 3x \ge 0 \implies 13 \ge 3x \implies x \le 13/3$. С учетом ОДЗ ($x \ge 2$), получаем $2 \le x \le 13/3$.

6. Возведем обе части в квадрат:

$(13 - 3x)^2 = (4\sqrt{x-2})^2$

$169 - 78x + 9x^2 = 16(x-2)$

$9x^2 - 78x + 169 = 16x - 32$

7. Решим квадратное уравнение:

$9x^2 - 94x + 201 = 0$

Дискриминант $D = (-94)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 201 = 8836 - 7236 = 1600 = 40^2$.

$x_1 = \frac{94 + 40}{18} = \frac{134}{18} = \frac{67}{9}$

$x_2 = \frac{94 - 40}{18} = \frac{54}{18} = 3$

8. Проверим корни на соответствие условию $2 \le x \le 13/3$. $13/3 \approx 4.33$.

Корень $x_1 = 67/9 \approx 7.44$ не удовлетворяет условию, так как $7.44 > 4.33$.

Корень $x_2=3$ удовлетворяет условию ($2 \le 3 \le 13/3$).

9. Проверка для $x=3$: $\sqrt{3+6} - 2\sqrt{3-2} = \sqrt{9} - 2\sqrt{1} = 3 - 2 = 1$. $1=1$. Решение верно.

Ответ: 3.

г) $\sqrt{x+1} - \sqrt{x-2} = \sqrt{2x-5}$

1. Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} x + 1 \ge 0 \\ x - 2 \ge 0 \\ 2x - 5 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -1 \\ x \ge 2 \\ x \ge 2.5 \end{cases}$

Пересечением является $x \ge 2.5$.

2. Левая часть $\sqrt{x+1} - \sqrt{x-2}$ должна быть неотрицательной. $\sqrt{x+1} \ge \sqrt{x-2} \implies x+1 \ge x-2 \implies 1 \ge -2$. Это верно для всех $x$ из ОДЗ.

3. Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{x+1} - \sqrt{x-2})^2 = (\sqrt{2x-5})^2$

$(x+1) - 2\sqrt{(x+1)(x-2)} + (x-2) = 2x-5$

4. Упростим выражение:

$2x - 1 - 2\sqrt{x^2 - x - 2} = 2x - 5$

$-1 - 2\sqrt{x^2 - x - 2} = -5$

$-2\sqrt{x^2 - x - 2} = -4$

$\sqrt{x^2 - x - 2} = 2$

5. Снова возведем в квадрат:

$x^2 - x - 2 = 4$

$x^2 - x - 6 = 0$

6. Решим квадратное уравнение по теореме Виета: $x_1+x_2=1$, $x_1x_2=-6$. Корни $x_1=3$ и $x_2=-2$.

7. Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 2.5$).

Корень $x_1=3$ удовлетворяет ОДЗ.

Корень $x_2=-2$ не удовлетворяет ОДЗ.

8. Проверка для $x=3$: $\sqrt{3+1} - \sqrt{3-2} = \sqrt{4} - \sqrt{1} = 2 - 1 = 1$. Правая часть: $\sqrt{2 \cdot 3 - 5} = \sqrt{1} = 1$. $1=1$. Решение верно.

Ответ: 3.