Номер 134, страница 236, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 2. Итоговое повторение - номер 134, страница 236.

Условие.

134 Сравните значения выражений:

а) $ \sqrt{192} $ и $ \frac{1}{7 - 4\sqrt{3}} - \frac{1}{7 + 4\sqrt{3}} $;

б) $ 3 + 2\sqrt{2} $ и $ \sqrt{7} + \sqrt{10} $;

в) $ \sqrt{198} $ и $ \frac{1}{5\sqrt{2} - 7} - \frac{1}{5\sqrt{2} + 7} $;

г) $ 2\sqrt{5} + 3 $ и $ \sqrt{10} + \sqrt{19} $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а)

Для того чтобы сравнить значения выражений $\sqrt{192}$ и $\frac{1}{7 - 4\sqrt{3}} - \frac{1}{7 + 4\sqrt{3}}$, сначала упростим второе выражение, приведя дроби к общему знаменателю.

Общий знаменатель равен произведению знаменателей: $(7 - 4\sqrt{3})(7 + 4\sqrt{3})$. Используем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:

$(7 - 4\sqrt{3})(7 + 4\sqrt{3}) = 7^2 - (4\sqrt{3})^2 = 49 - 16 \cdot 3 = 49 - 48 = 1$.

Теперь выполним вычитание дробей:

$\frac{1}{7 - 4\sqrt{3}} - \frac{1}{7 + 4\sqrt{3}} = \frac{1 \cdot (7 + 4\sqrt{3}) - 1 \cdot (7 - 4\sqrt{3})}{(7 - 4\sqrt{3})(7 + 4\sqrt{3})} = \frac{7 + 4\sqrt{3} - 7 + 4\sqrt{3}}{1} = 8\sqrt{3}$.

Теперь сравним первое выражение $\sqrt{192}$ с полученным результатом $8\sqrt{3}$. Упростим $\sqrt{192}$, вынеся множитель из-под знака корня:

$\sqrt{192} = \sqrt{64 \cdot 3} = \sqrt{64} \cdot \sqrt{3} = 8\sqrt{3}$.

Так как оба выражения равны $8\sqrt{3}$, то они равны между собой.

Ответ: $\sqrt{192} = \frac{1}{7 - 4\sqrt{3}} - \frac{1}{7 + 4\sqrt{3}}$.

б)

Сравним выражения $3 + 2\sqrt{2}$ и $\sqrt{7} + \sqrt{10}$. Так как оба выражения очевидно положительны, мы можем сравнить их квадраты. Если квадрат первого выражения больше квадрата второго, то и само первое выражение больше второго.

Возведем в квадрат первое выражение:

$(3 + 2\sqrt{2})^2 = 3^2 + 2 \cdot 3 \cdot 2\sqrt{2} + (2\sqrt{2})^2 = 9 + 12\sqrt{2} + 8 = 17 + 12\sqrt{2}$.

Возведем в квадрат второе выражение:

$(\sqrt{7} + \sqrt{10})^2 = (\sqrt{7})^2 + 2\sqrt{7}\sqrt{10} + (\sqrt{10})^2 = 7 + 2\sqrt{70} + 10 = 17 + 2\sqrt{70}$.

Теперь сравним полученные результаты: $17 + 12\sqrt{2}$ и $17 + 2\sqrt{70}$. Вычтем 17 из обоих выражений. Задача сводится к сравнению $12\sqrt{2}$ и $2\sqrt{70}$. Разделим оба выражения на 2, получим $6\sqrt{2}$ и $\sqrt{70}$.

Чтобы сравнить $6\sqrt{2}$ и $\sqrt{70}$, снова возведем их в квадрат:

$(6\sqrt{2})^2 = 36 \cdot 2 = 72$.

$(\sqrt{70})^2 = 70$.

Так как $72 > 70$, то $6\sqrt{2} > \sqrt{70}$, и, следовательно, $17 + 12\sqrt{2} > 17 + 2\sqrt{70}$.

Поскольку исходные выражения положительны, из $(3 + 2\sqrt{2})^2 > (\sqrt{7} + \sqrt{10})^2$ следует, что $3 + 2\sqrt{2} > \sqrt{7} + \sqrt{10}$.

Ответ: $3 + 2\sqrt{2} > \sqrt{7} + \sqrt{10}$.

в)

Сравним $\sqrt{198}$ и $\frac{1}{5\sqrt{2} - 7} - \frac{1}{5\sqrt{2} + 7}$. Сначала упростим второе выражение.

Найдем общий знаменатель: $(5\sqrt{2} - 7)(5\sqrt{2} + 7)$. По формуле разности квадратов:

$(5\sqrt{2})^2 - 7^2 = (25 \cdot 2) - 49 = 50 - 49 = 1$.

Выполним вычитание дробей:

$\frac{1 \cdot (5\sqrt{2} + 7) - 1 \cdot (5\sqrt{2} - 7)}{(5\sqrt{2} - 7)(5\sqrt{2} + 7)} = \frac{5\sqrt{2} + 7 - 5\sqrt{2} + 7}{1} = 14$.

Теперь сравним $\sqrt{198}$ и 14. Так как оба числа положительны, сравним их квадраты:

$(\sqrt{198})^2 = 198$.

$14^2 = 196$.

Поскольку $198 > 196$, то $\sqrt{198} > 14$.

Ответ: $\sqrt{198} > \frac{1}{5\sqrt{2} - 7} - \frac{1}{5\sqrt{2} + 7}$.

г)

Сравним выражения $2\sqrt{5} + 3$ и $\sqrt{10} + \sqrt{19}$. Оба выражения положительны, поэтому мы можем сравнить их квадраты.

Возведем в квадрат первое выражение:

$(2\sqrt{5} + 3)^2 = (2\sqrt{5})^2 + 2 \cdot 2\sqrt{5} \cdot 3 + 3^2 = 4 \cdot 5 + 12\sqrt{5} + 9 = 20 + 12\sqrt{5} + 9 = 29 + 12\sqrt{5}$.

Возведем в квадрат второе выражение:

$(\sqrt{10} + \sqrt{19})^2 = (\sqrt{10})^2 + 2\sqrt{10}\sqrt{19} + (\sqrt{19})^2 = 10 + 2\sqrt{190} + 19 = 29 + 2\sqrt{190}$.

Теперь сравним $29 + 12\sqrt{5}$ и $29 + 2\sqrt{190}$. Вычтем 29 из обоих выражений, чтобы сравнить $12\sqrt{5}$ и $2\sqrt{190}$. Разделим на 2, получим $6\sqrt{5}$ и $\sqrt{190}$.

Возведем эти выражения в квадрат:

$(6\sqrt{5})^2 = 36 \cdot 5 = 180$.

$(\sqrt{190})^2 = 190$.

Так как $180 < 190$, то $6\sqrt{5} < \sqrt{190}$, и, следовательно, $29 + 12\sqrt{5} < 29 + 2\sqrt{190}$.

Поскольку исходные выражения положительны, из $(2\sqrt{5} + 3)^2 < (\sqrt{10} + \sqrt{19})^2$ следует, что $2\sqrt{5} + 3 < \sqrt{10} + \sqrt{19}$.

Ответ: $2\sqrt{5} + 3 < \sqrt{10} + \sqrt{19}$.