Номер 127, страница 235, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Итоговое повторение. Часть 2 - номер 127, страница 235.

Условие.

127 a) $\sqrt{x^2 - 5x} = 6;$

б) $\sqrt{x^2 - 5x + 5} = 1;$

в) $\sqrt{x^2 + 6x} = 4;$

г) $\sqrt{x^2 + 5x + 2} = 4.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а)

Дано иррациональное уравнение $\sqrt{x^2 - 5x} = 6$.

Для его решения необходимо избавиться от знака корня. Поскольку правая часть уравнения ($6$) является неотрицательным числом, мы можем возвести обе части уравнения в квадрат. Это преобразование будет равносильным при условии, что подкоренное выражение неотрицательно.

$(\sqrt{x^2 - 5x})^2 = 6^2$

$x^2 - 5x = 36$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 5x - 36 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 25 + 144 = 169$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{169} = 13$.

Найдем корни по формулам $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{5 + 13}{2} = \frac{18}{2} = 9$

$x_2 = \frac{5 - 13}{2} = \frac{-8}{2} = -4$

Необходимо выполнить проверку, подставив найденные корни в исходное уравнение.

Проверка для $x = 9$:

$\sqrt{9^2 - 5 \cdot 9} = \sqrt{81 - 45} = \sqrt{36} = 6$. Равенство верно.

Проверка для $x = -4$:

$\sqrt{(-4)^2 - 5 \cdot (-4)} = \sqrt{16 + 20} = \sqrt{36} = 6$. Равенство верно.

Оба корня удовлетворяют исходному уравнению.

Ответ: $-4; 9$.

б)

Дано уравнение $\sqrt{x^2 - 5x + 5} = 1$.

Возведем обе части уравнения в квадрат, так как правая часть ($1$) является положительным числом.

$(\sqrt{x^2 - 5x + 5})^2 = 1^2$

$x^2 - 5x + 5 = 1$

Перенесем $1$ в левую часть и приведем подобные слагаемые:

$x^2 - 5x + 4 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна $5$, а их произведение равно $4$. Отсюда корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 4$.
Либо решим через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9$

$\sqrt{D} = 3$.

$x_1 = \frac{5 + 3}{2} = \frac{8}{2} = 4$

$x_2 = \frac{5 - 3}{2} = \frac{2}{2} = 1$

Проверка. Поскольку при решении подкоренное выражение $x^2 - 5x + 5$ стало равно $1$, что является неотрицательным числом, оба найденных корня являются решениями исходного уравнения.

Проверка для $x=4$: $\sqrt{4^2 - 5 \cdot 4 + 5} = \sqrt{16 - 20 + 5} = \sqrt{1} = 1$. Верно.

Проверка для $x=1$: $\sqrt{1^2 - 5 \cdot 1 + 5} = \sqrt{1 - 5 + 5} = \sqrt{1} = 1$. Верно.

Ответ: $1; 4$.

в)

Дано уравнение $\sqrt{x^2 + 6x} = 4$.

Возводим обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{x^2 + 6x})^2 = 4^2$

$x^2 + 6x = 16$

Запишем уравнение в стандартном виде:

$x^2 + 6x - 16 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $-6$, а произведение $-16$. Корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = -8$.
Либо решим через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 36 + 64 = 100$

$\sqrt{D} = 10$.

$x_1 = \frac{-6 + 10}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$x_2 = \frac{-6 - 10}{2} = \frac{-16}{2} = -8$

Проверим найденные корни.

Проверка для $x = 2$:

$\sqrt{2^2 + 6 \cdot 2} = \sqrt{4 + 12} = \sqrt{16} = 4$. Верно.

Проверка для $x = -8$:

$\sqrt{(-8)^2 + 6 \cdot (-8)} = \sqrt{64 - 48} = \sqrt{16} = 4$. Верно.

Оба корня подходят.

Ответ: $-8; 2$.

г)

Дано уравнение $\sqrt{x^2 + 5x + 2} = 4$.

Возводим обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{x^2 + 5x + 2})^2 = 4^2$

$x^2 + 5x + 2 = 16$

Приведем уравнение к стандартному виду:

$x^2 + 5x - 14 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $-5$, а произведение $-14$. Корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = -7$.
Либо решим через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 25 + 56 = 81$

$\sqrt{D} = 9$.

$x_1 = \frac{-5 + 9}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$x_2 = \frac{-5 - 9}{2} = \frac{-14}{2} = -7$

Проверка. Подставим корни в исходное уравнение.

Проверка для $x = 2$:

$\sqrt{2^2 + 5 \cdot 2 + 2} = \sqrt{4 + 10 + 2} = \sqrt{16} = 4$. Верно.

Проверка для $x = -7$:

$\sqrt{(-7)^2 + 5 \cdot (-7) + 2} = \sqrt{49 - 35 + 2} = \sqrt{16} = 4$. Верно.

Оба корня являются решениями.

Ответ: $-7; 2$.