Номер 125, страница 235, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Итоговое повторение. Часть 2 - номер 125, страница 235.

Условие.

125 Упростите выражение:

а) $\left(\frac{x}{x^2 - 2x + 1} - \frac{x + 2}{x^2 + x - 2}\right) \cdot \frac{1}{(2x - 2)^{-2}}$;

б) $\left(\frac{y + 2}{y^2 - y - 6} - \frac{y}{y^2 - 6y + 9}\right)^{-1} : (3y - 9)^2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а)

Упростим выражение $\left(\frac{x}{x^2 - 2x + 1} - \frac{x + 2}{x^2 + x - 2}\right) \cdot \frac{1}{(2x - 2)^{-2}}$ по шагам.

1. Разложим на множители знаменатели дробей в скобках.
Первый знаменатель $x^2 - 2x + 1$ является полным квадратом разности: $x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$.
Второй знаменатель $x^2 + x - 2$ разложим, найдя корни квадратного трехчлена $x^2 + x - 2 = 0$. По теореме Виета, корни равны $x_1 = 1$ и $x_2 = -2$. Следовательно, $x^2 + x - 2 = (x - 1)(x + 2)$.

2. Подставим разложенные знаменатели в выражение в скобках и выполним вычитание.
$\frac{x}{(x - 1)^2} - \frac{x + 2}{(x - 1)(x + 2)}$
Сократим вторую дробь на $(x + 2)$:
$\frac{x}{(x - 1)^2} - \frac{1}{x - 1}$
Приведем дроби к общему знаменателю $(x - 1)^2$:
$\frac{x}{(x - 1)^2} - \frac{1 \cdot (x - 1)}{(x - 1)(x - 1)} = \frac{x - (x - 1)}{(x - 1)^2} = \frac{x - x + 1}{(x - 1)^2} = \frac{1}{(x - 1)^2}$.

3. Упростим второй множитель $\frac{1}{(2x - 2)^{-2}}$.
Используя свойство степени $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, получим: $\frac{1}{(2x - 2)^{-2}} = (2x - 2)^2$.
Вынесем общий множитель 2 за скобки: $(2(x - 1))^2 = 2^2 \cdot (x - 1)^2 = 4(x - 1)^2$.

4. Перемножим результаты шагов 2 и 3.
$\frac{1}{(x - 1)^2} \cdot 4(x - 1)^2$
Сократим выражение на $(x - 1)^2$:
$1 \cdot 4 = 4$.

Ответ: $4$

б)

Упростим выражение $\left(\frac{y + 2}{y^2 - y - 6} - \frac{y}{y^2 - 6y + 9}\right)^{-1} : (3y - 9)^2$ по шагам.

1. Разложим на множители знаменатели в скобках.
Первый знаменатель $y^2 - y - 6$. Найдем корни уравнения $y^2 - y - 6 = 0$. По теореме Виета, $y_1 = 3$, $y_2 = -2$. Значит, $y^2 - y - 6 = (y - 3)(y + 2)$.
Второй знаменатель $y^2 - 6y + 9$ является полным квадратом разности: $y^2 - 6y + 9 = (y - 3)^2$.

2. Подставим разложенные знаменатели в выражение в скобках.
$\frac{y + 2}{(y - 3)(y + 2)} - \frac{y}{(y - 3)^2}$
Сократим первую дробь на $(y + 2)$:
$\frac{1}{y - 3} - \frac{y}{(y - 3)^2}$
Приведем дроби к общему знаменателю $(y - 3)^2$:
$\frac{1 \cdot (y - 3)}{(y - 3)(y - 3)} - \frac{y}{(y - 3)^2} = \frac{y - 3 - y}{(y - 3)^2} = \frac{-3}{(y - 3)^2}$.

3. Возведем полученную дробь в степень -1.
По свойству $(\frac{a}{b})^{-1} = \frac{b}{a}$, имеем:
$\left(\frac{-3}{(y - 3)^2}\right)^{-1} = \frac{(y - 3)^2}{-3} = -\frac{(y - 3)^2}{3}$.

4. Упростим делитель $(3y - 9)^2$.
Вынесем общий множитель 3 за скобки: $(3(y - 3))^2 = 3^2(y - 3)^2 = 9(y - 3)^2$.

5. Выполним деление.
$-\frac{(y - 3)^2}{3} : (9(y - 3)^2) = -\frac{(y - 3)^2}{3} \cdot \frac{1}{9(y - 3)^2}$
Сократим выражение на $(y - 3)^2$:
$-\frac{1}{3 \cdot 9} = -\frac{1}{27}$.

Ответ: $-\frac{1}{27}$