Номер 118, страница 234, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Итоговое повторение. Часть 2 - номер 118, страница 234.

Условие.

118 Автогонщик на ралли из-за поломки автомобиля потерял 4 мин, а затем на оставшихся 120 км пути наверстал потерянное время, увеличив скорость на 20 км/ч. Найдите первоначальную скорость автогонщика.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Пусть первоначальная скорость автогонщика равна $v$ км/ч. Тогда после увеличения скорость стала $(v + 20)$ км/ч.

Гонщику предстояло проехать 120 км. Время, которое он планировал затратить на этот участок, двигаясь с первоначальной скоростью, составляет $t_1 = \frac{120}{v}$ часов.

Фактическое время, затраченное на этот же участок с увеличенной скоростью, равно $t_2 = \frac{120}{v + 20}$ часов.

По условию, гонщик наверстал 4 минуты, потерянные из-за поломки. Это означает, что разница между плановым временем $t_1$ и фактическим временем $t_2$ составляет 4 минуты.

Для составления уравнения необходимо перевести минуты в часы: $4 \text{ мин} = \frac{4}{60} \text{ ч} = \frac{1}{15} \text{ ч}$.

Теперь можно составить уравнение: $t_1 - t_2 = \frac{1}{15}$ $\frac{120}{v} - \frac{120}{v + 20} = \frac{1}{15}$

Чтобы решить уравнение, приведем дроби в левой части к общему знаменателю $v(v + 20)$: $\frac{120(v + 20) - 120v}{v(v + 20)} = \frac{1}{15}$

Раскроем скобки в числителе и упростим выражение: $\frac{120v + 2400 - 120v}{v^2 + 20v} = \frac{1}{15}$ $\frac{2400}{v^2 + 20v} = \frac{1}{15}$

Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение): $v^2 + 20v = 2400 \cdot 15$ $v^2 + 20v = 36000$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$: $v^2 + 20v - 36000 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$: $D = 20^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36000) = 400 + 144000 = 144400$

Найдем корни уравнения: $\sqrt{D} = \sqrt{144400} = 380$ $v_1 = \frac{-20 + 380}{2} = \frac{360}{2} = 180$ $v_2 = \frac{-20 - 380}{2} = \frac{-400}{2} = -200$

Скорость не может быть отрицательной, поэтому корень $v_2 = -200$ не является решением задачи. Следовательно, первоначальная скорость автогонщика равна 180 км/ч.

Ответ: 180 км/ч.