Номер 116, страница 234, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Итоговое повторение. Часть 2 - номер 116, страница 234.

Условие.

116 Катер проплывает 8 км против течения реки и ещё 30 км по течению за то же время, за которое он может проплыть по озеру 36 км. Найдите скорость катера в стоячей воде, если скорость течения реки равна 2 км/ч.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение

Пусть собственная скорость катера, то есть его скорость в стоячей воде (озере), равна $x$ км/ч. Согласно условию, скорость течения реки равна 2 км/ч.

Тогда скорость катера при движении по течению реки составляет $(x + 2)$ км/ч, а скорость катера против течения реки — $(x - 2)$ км/ч. Важно отметить, что для того, чтобы катер мог двигаться против течения, его собственная скорость должна быть больше скорости течения, следовательно, $x > 2$.

Время, которое катер затратил на путь в 8 км против течения, вычисляется как $t_1 = \frac{8}{x - 2}$ часа. Время, затраченное на 30 км по течению, равно $t_2 = \frac{30}{x + 2}$ часа. Общее время движения по реке составляет сумму этих времён: $T_{река} = t_1 + t_2 = \frac{8}{x - 2} + \frac{30}{x + 2}$ ч.

Время, за которое катер может проплыть 36 км по озеру, где течение отсутствует, равно $T_{озеро} = \frac{36}{x}$ ч.

По условию задачи, время движения по реке равно времени движения по озеру, поэтому мы можем составить и решить уравнение:

$\frac{8}{x - 2} + \frac{30}{x + 2} = \frac{36}{x}$

Приведем дроби в левой части уравнения к общему знаменателю $(x-2)(x+2)$:

$\frac{8(x + 2) + 30(x - 2)}{(x - 2)(x + 2)} = \frac{36}{x}$

$\frac{8x + 16 + 30x - 60}{x^2 - 4} = \frac{36}{x}$

$\frac{38x - 44}{x^2 - 4} = \frac{36}{x}$

Воспользуемся свойством пропорции (умножим уравнение "крест-накрест"), так как при $x > 2$ знаменатели не равны нулю:

$x(38x - 44) = 36(x^2 - 4)$

Раскроем скобки:

$38x^2 - 44x = 36x^2 - 144$

Перенесем все члены уравнения в левую часть и приведем подобные слагаемые:

$38x^2 - 36x^2 - 44x + 144 = 0$

$2x^2 - 44x + 144 = 0$

Для удобства разделим все члены уравнения на 2:

$x^2 - 22x + 72 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-22)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 72 = 484 - 288 = 196$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. $\sqrt{D} = \sqrt{196} = 14$.

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{22 - 14}{2} = \frac{8}{2} = 4$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{22 + 14}{2} = \frac{36}{2} = 18$

Оба найденных значения, $x_1 = 4$ и $x_2 = 18$, удовлетворяют условию $x > 2$. Следовательно, оба являются решениями задачи. Проверим их:

• При $x=4$ км/ч: время по реке $\frac{8}{4-2} + \frac{30}{4+2} = \frac{8}{2} + \frac{30}{6} = 4+5 = 9$ ч. Время по озеру $\frac{36}{4} = 9$ ч. Времена равны.
• При $x=18$ км/ч: время по реке $\frac{8}{18-2} + \frac{30}{18+2} = \frac{8}{16} + \frac{30}{20} = 0.5+1.5 = 2$ ч. Время по озеру $\frac{36}{18} = 2$ ч. Времена равны.

Ответ: собственная скорость катера может быть равна 4 км/ч или 18 км/ч.